Численное моделирование самосогласованных структур в плазме и электронных потоках

• Автор: Юнаковский, Алексей Дмитриевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 305 с. : ил.

Содержание

1 Сеточные методы решения одномерного нестационарного уравнения ТПредингера.

1.1 Применение метода сеток для решения нестационарной зада

чи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда.

1.2 Применение операторного компактного неявного метода для

решения нестационарного уравнения Шредингера.

1.3 Схема повышенной точности.

2 Сеточные методы для двумерного нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Исследование стационарного разряда в пересекающихся волновых пучках методом сеток

2.2 Применение метода Бунемаиа для решения нестационарного

уравнения Шредингера

2.2.1 Применение метода Бунемаиа в схеме расщепления при
решении нестационарного уравнения Шредингера
2.2.2 Соединение операторного компактного неявного метода с методом Буиемана.
2.2.3 Случай цилиндрической симметрии
2.3 Численное моделирование двумерной сильной леигмюровской
турбулентности
3 Основные используемые функциональные методы
3.1 Метод осредненной операторной экспоненты для решения задачи Коши С
3.2 Проблемы атракторов траекторий непрерывного спуска для
квадратичной формы полуограниченного оператора на единичной сфере
3.3 Применение преобразования всплесков при решении краевых
3.3.1 Обозначения и определения конструкций всплесков . .
3.3.2 Постановка задачи.
3.3.3 Модельная задача
3.3.4 Краевая задача с правой частью из Ж
3.3.5 Краевая задача с правой частью из
4 Применение быстрого преобразования Фурье для решения нестационарного уравнения Шредингера
4.1 Приближенное решение НУШ во всм пространстве.
4.2 Приближнная операторная экспонента и схема расщепления
по физическим процессам .
4.3 Краевые задачи для нестационарного уравнения Шредингера
4.3.1 Постановка краевых задач
4.3.2 Сохранение интегралов движения
4 4.3.3 Приближенная операторная экспонента, оценка погрешности
4.4 Неустойчивость периодических решений одномерного нелинейного уравнения Шредингера.
4.5 Множественное дробление волновых структур в нелинейной среде
Численное моделирование уравнений Захарова
5.1 Одномерные уравнения Захарова
5.1.1 Сохранение интеграла энергии
5.1.2 Тестовый пример.
5.2 Уравнения Захарова со сферической симметрией.
5.3 Двумерные векторные уравнения Захарова.
5.3.1 Примеры и их анализ.
5.4 Моделирование уравнений Захарова с затуханием
5.4.1 Анализ способов введения затухания в уравнения За.
харова .
5.4.2 Уравнения Захарова с модельным затуханием Ландау .
5.4.3 Построение приближенного решения уравнений Заха
рова с затуханием методом расщепления по физическим процессам
5.4.4 Построение алгоритма с предиктором .
5.4.5 Численный пример .
5.4.6 Анализ результатов
Моделирование пространственновременных структур электронных потоков и ЭМ полей
6.1 Пространственные структуры электронных потоков в скрещенных полях.
6.1.1 Постановка математической задачи
6.1.2 Ветвление решения.
6.1.3 Бриллюэновский поток электронов.
6.1.4 Виртуальный катод.
6.1.5 Решение в пролетном пространстве
6.1.6 Случай магнитного поля, зависящего от радиальной
координаты
6.1.7 Ветвление решения в случае переменного магнитного
6.1.8 Релятивистский случай.
6.2 Численное моделирование нестационарных процессов в лазерах на свободных электронах
6.2.1 Уравнение взаимодействия электронного пучка с электромагнитной волной.
6.2.2 Вычислительная схема для интегрирования
уравнения движения электронов.
6.2.3 Численное интегрирование уравнения для волны
6.2.4 Результаты тестирования и вычислительных экспериментов .
6.3 Вычислительная схема для интегрирования уравнения движения электронов
7 Обратные задачи для периодически гофрированных волно
водов
7.1 Общая постановка задачи
7.2 Азимутальносимметричный случай
7.2.1 Сопротивление связи.
7.2.2 Нормальная составляющая электрического поля на поверхности гофрированного волновода.
7.2.3 Потери в стенках гофрированных волноводов
7.3 Применение метода гармонических возмущений к расчету периодически гофрированных волноводов.
7.3.1 Постановка задачи.
7.3.2 Круглый волновод
7.3.3 Численные результаты
7.3.4 Обратная задача.
8 Моделирование ускорительной секции суперколлайдера
8.1 Постановка математической задачи рассеяния
8.2 Проблемы аналитического решения
8.3 Задачи рассеяния в подводящих каналах
8.3.1 Самосогласованная задача в каналах
8.4 Оптимизация профиля каналов в в асимптотическом пределе плоской геометрии.
8.5 Основные идеи метода дискретных источников и особенности их применения для расчетов ускорительных секций суперколлайдеров
8.6 Функции Грина объемлющей области.
8.6.1 Случай граничных условий первого рода
8.6.2 Случай граничных условий третьего рода.
8.6.3 Случай условий излучения Зоммерфельда
8.6.4 Случай плоской геометрии
фк 8.7 Модельная задача рассеяния электромагнитных волн в канале
коллайдера в случае плоской геометрии
8.7.1 Метод дискретных источников в модельной задаче рассеяния
8.7.2 Процедура регуляризации.
8.7.3 Численные результаты и выводы
8.8 Обратная спектральная задача.
8.8.1 Тестовая задача.
8.8.2 Численные Результаты
8.9 Оптимизация структуры поля в параксиальной области
9 Заключение
Приложение. Введение в теорию пространств
Список литературы


Сеточные методы решения одномерного нестационарного уравнения Шредингера. Многие исследования нестационарных нелинейных эффектов самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда 4, 5, при эволюции сферически симметричного распределения продольных плазменных колебаний 5, 6, 7, в скалярной модели коллапса , в плазме с тепловой нелинейностью 0 и т. Для описания поля к таких системах обычно используется нестационарное уравнение Шредингера. Это одно уравнение для комплексной огибающей высокочастотной амплитуды поля или система двух уравнений относительно действительной и мнимой компонент вообще говоря не является ни уравнением параболического типа, ни гиперболической системой уравнений по классификации Петровского. Как хорошо известно, при численном моделировании решений уравнений такого типа параболическая зависимость от временной переменной изза условий устойчивости 0 заставляет двигаться с достаточно мелким шагом по времени, пропорциональным квадрату шага по пространственной переменной. Таким образом, при численном моделировании систем уравнений в частных производных, одним из которых является нестационарное уравнение Шредингера. Поэтому при наличии в исследуемых в этой главе системах такого уравнения главное внимание при численном моделировании уделяется наиболее подробному его рассмотрению. Исследуются разные по точности, устойчивости и долгоживучести слабой насыщаемости методы аппроксимации, уделяя особое внимание простоте нахождения приближенного решения. В этой главе рассматриваются сеточные методы нахождения приближенного решения систем уравнений, включающих нестационарное, чаще линейное. Вместо граничных условий Е О при х оо можно использовать условие принадлежности решения пространству i . Легко проверить, что решение x,. Е I2 x . Ех,0 Е0х 1. ЬгЯ . При численном моделировании часто приходится рассматривать уравнение 1. Е , Е1 0 . М 1. Методы, использующие дискретное преобра. Фурье не могут быть применены напрямую в случае граничных условий третьего рода без существенного ухудшения скорости сходимости аппроксимирующей функции к исходной и без потери главных достоинств этого метода быстроты и точности счта. Для этого разобьем область изменения . Концевые точки хг называются узлами. Яг1, Ь тахц. Умножим уравнение 1. Ых ПРИ Xi х Яй. X I . Г дгЕ , дЕ . Г I дГЛх . Интеграл в правой части 1. Поделив на i 2 в использованных выше обозначениях 1. V1x ,x1 . Грина задачи 1. Х2, взятой в точке х. А. 1. Отметим, что в получившееся выражение не входит значение функции 0. При вычислении правой части интегралы будем брать по частям так, чтобы подстановки в крайних точках 0 и Х2 обращались в нуль. Тогда получим, что ошибка аппроксимации, записанная в интегральной форме, сосредоточена в окрестности центрального узла области интегрирования 0. О , п Н Ы xx0xv5, 4 V 2с,ац 2ii
2 ii2i . При г 0 соответственно получаем, взяв в качестве щ правую часть функции р1 из 1. О
хч0х1х 0 г2 . Хотя точность формулы трапеций 0г, множитель 1ц в знаменателе функции ухудшает порядок аппроксимации. Подставляя 1. ЯЕг ЩЕг 0 , I 1,2,. Я. Ещ раз отметим, что в эту замкнутую систему не входит значение функции ЕОд ДМ Для нахождения решения этойфистемы можно использовать методы, развитые в разделах 3. Для определения значения Я0 можно воспользоваться соотношением 1. Построив разностную аппроксимацию полученной системы по временной переменной, получим разностную схему обычного сеточного метода. Порядок аппроксимации ее определяется соотношениями 1. Мы укажем далее несколько способов повышения порядка аппроксимации разностной схемы, не приводящих к усложнению процедуры вычислений и использованных для нахождения решения конкретных задач на больших временных интервалах. Применение метода сеток для решения нестационарной задачи самовоздействия волновых пучков в условиях высокочастотного разряда. Одним из факторов, существенно ограничивающих величину плотности энергии высокочастотного поля в газах, является возможность возникновения высокочастотного пробоя.