Применение градиентных итерационных методов при решении задач движения стратифицированной и вязкой несжимаемой жидкостей

• Автор: Захаров, Юрий Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 345 с. : ил.

1.1 Некоторые понятия и постановка задач.

1.2 Итерационные схемы с положительным оператором шага.

1.3 Циклические схемы чебышевского типа .

1.4 Реализация 2рциклической чсбышевской схемы

1.5 Гибридная многошаговая схема.

ГЛАВА 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ НЕПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ СО СПЕКТРАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ

2.1 Схемы использующие точное задание границ спектра операторов .

2.2 Использование метода неопределенных правых частей

в итерационных схемах для решения разностных схем повышенного порядка аппроксимации .
ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ НЕПОЛНОЙ АППРОКСИМАЦИИ С ВАРИАЦИОННОЙ ОПТИМИЗАЦИЕЙ ПАРАМЕТРОВ

3.1 Схемы с вариационной оптимизацией параметров.

3.2 Двухслойные схемы неполной аппроксимации.
3.3 Асимптотическое свойство и ускорение сходимости схем неполной
аппроксимации
3.4 Схема неполной аппроксимации с параметром матрицей
3.5 Некоторые методические расчеты и анализ неточного задания
правой части на скорость сходимости схем НА
3.6 Движение идеальной несжимаемой стратифицированной жидкости
в бесконечной области.
3.7 Решение задачи Рэлея о схлопывании газового пузыря.
ГЛАВА 4. НЕКОТОРЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ
СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ СТОКСА
4.1 О сходимости одной системы, аппроксимирующей систему
уравнений НавьеСтокса
4.2 Использование искусственной вязкости для ускорения
сходимости схем расщепления.
4.3 Результаты численных расчетов с использованием искусственной
вязкости
4.4 Построение схемы четвертого порядка аппроксимации для системы уравнений НавьеСтокса методом неопределенных
правых частей.
ГЛАВА 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ БИЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
5.1 Метод минимальных невязок.
5.2 Ускорение сходимости метода минимальных невязок.
5.3 Итерационные схемы решения стационарных уравнений Бюргерса
5.4 Численные расчеты модельных задач.
ГЛАВА 6. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОБЛАСТИ
6.1 Решение стационарной задачи в бесконечной области
6.2 Решение нестационарной задачи в бесконечной области.
6.3 Численные расчеты модельных задач.
ГЛАВА 7. РЕШЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗА
ДАЧ ДВИЖЕНИЯ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ ЖИДКОСТИ В БЕСКОНЕЧНЫХ ОБЛАСТЯХ
7.1 Некоторые задачи, описывающие движения стратифицированной жидкости.
7.2 Численное решение нестационарных задач движения идеальной и вязкой стратифицированной жидкости
7.3 Решение уравнения ДюбрейльЖакотен .
ГЛАВА 8. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ НАВЬЕСТОКСА
8.1 Групповая классификация есистем.
8.2 Двумерная задача движения вязкой несжимаемой жидкости в формулировке скоростьдавление .
8.3 Итерационные схемы решения системы уравнений НавьеСтокса в переменных функция токавихрь.
8.4 Интегральное краевое условия при решении задачи обтекания . . .
8.5 Численное решение системы уравнений НавьеСтокса в переменных скоростей и давления в трехмерном случае.
Заключение
Приложение
Литература


В результате получим СЛАУ конечной размерности, которую мы будем решать итерационными схемами НА. Использование на верхней и правой границах области решения в задачах обтекания разностных аппроксимаций самого уравнения позволяет получить приемлемое решение в достаточно малой области. В параграфе 3. Рэлея о замыкании заполненной газом сферической полости в неограниченном объеме невязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного перепада давления. Нестационарная задача, описывающая движение пузыря, на каждый момент времени методом граничных элементов сводится к задаче решения СЛАУ, матрица которой определяется заново. При этом свойства этой полностью заполненной матрицы, кроме самосопряженности, трудно анализируемы. Для решения этих систем использовались различные схемы НА. Уй I Ур,, 1Уй 1 сйу й 0. В параграфе 4. При этом удается показать, что если нестационарное решение ещ далеко от стационарного, то можно улучшить оценку сходимости нестационарной задачи к стационарной. Далее определяется структура матриц Мг. Показывается, что в некоторых случаях эти матрицы искусственной вязкости имеют диагональный вид, а это имеет наглядный физический смысл. Случай диагональных матриц М, означает, что вместо постоянной вязкости мы вводим переменную вязкость г, которая должна стремиться при оо к и не медленнее, чем некоторая экспонента. Аналогичный результат был доказан в параграфе 4. Бюргерса, которое является модельным для системы . Там же приведены результаты численных расчетов по двум схемам переменных направлений с использованием нелинейной искусственной вязкости. Расчеты показывают, что вязкость позволяет увеличивать скорость сходимости схем, удовлетворяющих условию полной аппроксимации в случае несамосопряженното оператора перехода. Параграф 4. НавьсСтокса. Рассматривается течение Пуазсйля в плоском прямоугольном канале и течение в плоской квадратной камере с двумя противоположно расположенными отверстиями. На этих примерах был продемонстрирован опыт ускорения сходимости нелинейной итерационной схемы с помощью искусственной вязкости и было показано, что именно вязкость позволяет ускорить сходимость схемы расщепления. В параграфе 4. НавьеСтокса. Рассматривается численный пример течение в квадратной траншее с движущейся верхней крышкой. Расчеты показывают, что построенная итерационная схема схема повышенного порядка аппроксимации на квадратной сетке с шагом г 1, 1. Этой схемой кроме основного вихря удалось обнаружить вихри слабой интенсивности в нижних углах траншеи. В пятой главе рассматриваются 1радиентные итерационные схемы с точной оптимизацией параметров решения нелинейных уравнений, возникающих при численном решении краевых задач движения вязкой и идеальной жидкости. В параграфе 5. В конечномерном гильбертовом пространстве Нт рассмотрим систему нелинейных уравнений. Будем предполагать, что система имеет хотя бы одно решение. Вп заданная матрица с элементами, зависящими от ип, гп Е Нт некоторый вектор, и произвольное начальное приближение из области определения оператора А, тп1, ап итерационные параметры. Тп1с1п Г,. С2л г1 г а2 . Л . Ч2 и . Г 1И2 4 Е тА. К.
Г,
V
Г
Си Аи, г Л, г, ил, 2 Л,г, г1, . Р,л2 2г2, Р2, в3 2Р, Я2, Я. Зависимость г,1 и Цг1 от а1 имеет вид полинома 4го порядка см. Аналогична зависимость и ггг от тп. Отсюда очевидно, что существуют такие т и аш, что г и гл1 гп. К . Р2п1 1. Причем, равенство достигается только в случае Вы0. Аналогично, можно выбрать и тп1. К 1РцЦ2. Рл. Цг2 является монотонно убывающей последовательностью. Последнее равенство означает, что убывание нормы невязки происходит по формулам аналогичным для метода минимальных невязок решений СЛАУ. Затем, как и в линейном случае, построен итерационный метод МН, использующий итерационный параметр в виде матрицы, что позволяет при вычислении каждой компоненты вектора ипИ использовать свой итерационный параметр. Пусть в схеме параметр ап есть некоторая матрица. С0 Е Г Р 1 2 . Г1 0, . О, гк,0, . Для схемы можно предложить несколько алгоритмов выбора итерационных параметров. Алгоритм 1. Л2 , р 1,2, ,тг. Алгоритм 2.