Оптимальные методы вычисления многомерных сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений

• Автор: Захарова, Юлия Фридриховна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 196 с. : ил.

Содержание
Содержание
Введение

1. Основные определения

2. Постановка задачи .

3. Классы функций

4. Обзор методов построения поперечников и локальных сплайнов.

5. Обзор методов вычисления интегралов с весом и сингулярных интегралов

6. Обзор методов решения сингулярных уравнений

7. Обозначения, используемые в диссертации

Глава 1. Вычисление поперечников и построение локальных сплайнов функций из некоторых классов.
1.1. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов для функций из класса 1Г0, оо,М
1.2. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов
для функций из класса 1Уд0,оор,Л
1.3. Вычисление поперечников Колмогорова и Бабенко и построение сплайнов
для функций из класса 5ос, оо,Л
Глава 2 Оптимальные весовые квадратурные и кубатурные формулы вычисления регулярных интегралов Сб
2.1. Оптимальные весовые квадратурные формулы на классе 1У3оо,оо,М
2.2. Квадратурные формулы вычисления интегралов на классе Д0,оо
2.3. Кубатурные формулы вычисления интегралов на классе Ву,оор.
Глава 3. Оптимальные весовые кубатурные формулы ВЫЧИСЛеНИЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТеграЛОВ.
3.1. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов с фиксированной особенностью для функций из класса 1Гд яоо, оор, М
3.1.1. Случай гиперсингулярных интегралов .
3.1.2. Случай сингулярных интегралов
3.1.3. Случай слабосингулярных интегралов
3.2. Оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов с переменной особенностью для функций из класса 1Гдлоо,оор, М
Глава 4. Проекционные методы решения многомерных сингулярных интегральных уравнений .
4.1. Проекционный метод приближенного решения линейных сингулярных интегральных уравнений вида
агхг у вхтст г.
4.2. Проекционный метод приближенного решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений вида
, т .
Список литературы


Вычисляя вто[Юй из интегралов, стоящих в правой части формулы (1. Х) р + а-1 (р + а- 2)1'. I (Ь — х)Р+а Данное Адамаром определение конечной части расходящегося интеграла является частным случаем общего понятия регуляризации расходящихся интегралов. В работе Л. А. Чикина [] дано определение интеграла типа Коши-Адамара, обобщающее понятие интеграла в смысле главпого значения Коши и интеграла в смысле Адамара. У№(М)> р-целое число. Определение 1. Здесь ? Нетрудно видеть, что произвольный выбор ? Определение гиперсингулярных интегралов приводит в своей работе С. Г. Сам ко [] . См. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римаиа к сингулярных интегральных уравнений // Ученые зли иск и Казанского государственного университета. К-С. См. Там же. См. Сам ко С. Г. Гиисрсингулярные интегралы и их приложения. Изд. Ростовского университета, . Рассмотрим интеграл с ядром х - ? Пусть 0 < а < 1. Он сходится при 0 < а < 1 по крайней мере для функций, ограниченных на бесконечности и локально дифференцируемых. Известно [], что значения гиперсингулярных интегралов при различных способах регуляризации отличаются лишь на константу. В данной работе будем придерживаться следующего определения. Определение 1. I > а. А{/)(*) = ? Д{/)(*)= Е (-! Т1. При данных условиях предел не зависит от вида функции ? Поскольку все описанные в данной работе методы и задачи применимы лишь к классам, являющимися компактами (и доказаны только для них), необходимо сказать о том, что сами рассматриваемые в диссертации классы УТ и компактами не являются. Но они являются составной и наиболее значимой частью других классов (получающихся из указанных путем добавления весовой функции), которые в свою очередь уже являются компактами. В дальнейшем задачи будем ставить для произвольных компактных классов, определенных их на отрезке [—1,1], справедливо полагая, что все сказаное распространяется и на классы, используемые в диссертации. Постановка задачи построения наилучшей квадратурной формулы принадлежит А. Н. Колмогорову и в случае сингулярных интегралов с фиксированной особенностью состоит в следующем. Пусть Ф-клаес функций, интегрируемых на промежутке (—1,1). Л < 1 произвольны. Погрешность квадратурной формулы (2. Ф]= infRnW, Pi, Tj). Если существуют коэффициенты pi и узлы Xi (г = 1,2,. Следуя Бахвалову [4], мы будем называть квадратурную формулу (2. Лг(Ф,рь2? Длг(Ф,р*,^Й х ? Запись ап ж ? Л и В, не зависящие от п и такие что Аап < ? Вап. Определение оптимальных методов вычисления сингулярных интегралов с переменной сингулярностью. Рассмотрим необходимое и достаточное условие существования сингулярного интеграла, введенное С. Бахвалом Н. С. О свойствах оптимальных методов решения залай математический физики // Журнал пмчиелм-тельяой математики и математической физик и. Т. . N3. См. Михлии С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М., ГИФМЛ, . S - единичная сфера, которую пробегает точка ©, если в любой ограниченной части пространства Ет выполняется а(х) € Lip а, а > О, на бесконечности д(х) = 0(|т|~*), к > 0, функция - Т. Pk(t)