Модели оптимизации и их аппроксимация для эллиптических и параболических систем управления нелинейного типа

• Автор: Файрузов, Махмут Эрнстович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 190 с.

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I
Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с управлениями в правых частях уравнения состояния и граничных условиях третьего рода.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства со.
4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций.
ГЛАВА II
Модели оптимизации и их конечномерные сеточные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными эллиптическими уравнениями с нелинейными граничными условиями третьего рода с управлениями в коэффициентах уравнения состояния и граничных условиях.

1. Постановка задач и их корректность.

2. Конечномерные разностные аналоги моделей оптимизации. Корректность аппроксимаций

3. Априорная оценка погрешности метода по состоянию в норме сеточного пространства со .
4. Оценки погрешности сеточного функционала, скорости
сходимости аппроксимаций по функционалу, сходимость по управлению. Регуляризация аппроксимаций
ГЛАВА III
Модели оптимизации и их конечномерные дифференциальноразностные аналоги для систем нелинейного типа, описываемых квазилинейными параболическими уравнениями с управлениями в коэффициентах уравнения состояния
1. Постановка задач и их корректность.
2. Конечномерные дифференциальноразностные аналоги
моделей оптимизации. Оценка погрешности по состоянию
3. Оценка погрешности аппроксимаций функционала.
4. Сходимость аппроксимаций по функционалу. Регуляризация аппроксимаций
5. Модели оптимизации для квазилинейных параболических уравнений с другими критериями качества и их дифференциальноразностная аппроксимация и регуляризация
ГЛАВА IV
Алгоритмы численного решения сеточных аппроксимаций задач оптимального управления
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Для каждого управления еН элементами состояниями, функциями состояний управляемых систем и в конкретных системах являются решения уравнений математической физики, определяющие модель системы. Задачи оптимального управления можно сформулировать как задачи минимизации некоторого функционала качества , зависящего от состояния системы . Я. Решением задачи 0. В работе рассматриваются системы управления с распределенными параметрами нелинейного типа, в которых отображение из множества допустимых управлений в пространство состояний является нелинейным состояние системы является нелинейной функцией управления. Рассмотрены и исследованы математические модели оптимизации систем с распределенными параметрами нелинейного типа, состояния в которых описываются нелинейными УМФ, а также модели оптимизации нелинейного типа, в которых нелинейность систем управления вызвана тем, что управляющие функции входят в коэффициенты уравнений для состояния и коэффициенты граничных условий. Теоремы существования и единственности оптимальных управлений в таких задачах далеко не очевидны. В задачах с управлениями в коэффициентах функционалы цели не являются выпуклыми даже в тех случаях, когда уравнения состояния линейные и функционалы цели являются линейными функциями от решений этих уравнений. А поскольку управления н входят в старшие коэффициенты уравнения, то при больших п становится невозможным численное решение уравнения системы с удовлетворительной точностью. Значительная трудность решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности требует разработки специальных регуляризирующих методов и вычислительных алгоритмов. Один из возможных подходов к решению подобных задач с управлениями в коэффициентах состоит в постановке задачи с использованием более гладких управлений т. Проблема численного решения задач типа 0. А приближенные множества из аппроксимирующего конечномерного пространства Нк А А 0 приближенные отображения, Ук конечномерное пространство, аппроксимирующее пространство состояний У на сетке о. Обозначим
Проблема аппроксимации экстремальной задачи 0. Л 0 решений задач 0. Иначе говоря, при построении разностных аппроксимаций задач оптимального управления возникает следующий вопрос будут ли сходиться решения вспомогательных экстремальных задач 0. Будет ли при какихлибо условиях аппроксимировать последовательность задач 0. ШпА. Н 0. Если имеет место указанная выше сходимость, то возникает вопрос о скорости сходимости аппроксимаций по функционалу относительно параметра Л 0, т. УА. УА к Л при Л0. Одним из важнейших является вопрос о построении минимизирующих последовательностей для функционала на основе последовательности аппроксимаций 0. Поясним задачу. Точное решение задач 0. Ф еЛ, ФАс гС 0. А, такова, что е0 и еА 0 при А0 и характеризует точность решения задачи 0. Такое управление Ф существует по определению нижней грани. Для определения ФАб4 из условий 0. Условие же 0. А нижней грани функционала 0. СА, такие, что справедливо 0. Возникает вопрос нельзя ли принять сеточное управление ФАс4 из 0. ИшУРАФАел Л при Л0, 0. Рк ЯА Я связывающий оператор продолжения сеточных функций , не выводящий за , т. РкФ е для всех ФАеа Яа. ЛФАвАЛФлеАЛ. Л ЛСкт еА, т 0. Если имеет место 0. Возникают вопросы о сходимости по аргументу управлению, т. Я к множеству точек минимума ЯКак известно, большинство задач оптимального управления, некорректно поставлены по А. Н. Тихонову в метрике тех банаховых пространств Я, которые чаще всего используются в прикладных задачах, поэтому нет основания ожидать, что построенная последовательность РАФАс4 будет сходиться в метрике Я ко множеству Я 0. Исследование сходимости и точности аппроксимаций по состоянию при произвольных фиксированных управлениях является одной из центральных задач при исследовании сходимости аппроксимаций по функционалу и управлению, так как на основе оценок точности аппроксимаций по состоянию строятся оценки точности аппроксимаций по функционалу, доказывается сходимость по управлению и проводится регуляризация аппроксимаций.