Методы геометрического анализа сложного поведения с приложением к модели полупроводникового лазера

• Автор: Рассказов, Олег Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 147 с. : ил.

Введение

1 Уравнения ЛенгаКобаяши и хаотическое поведение

1.1 Уравнения ЛенгаКобаяши

1.2 Хаотическое поведение

1.2.1 Хаос и уравнения Лоренца

1.2.2 Двусторонние сдвиги на двоичных последовательностях.

1.2.3 Подкова Смейла

1.2.4 Гиперболические динамические системы

1.3 Доказательство хаотического поведения при помощи компьютера

1.3.1 Моделирование систем с хаотическим поведением

1.3.2 Доказательство хаотичности при помощи компьютера

2 Метод численного интегрирования
2.1 Введение.
2.1.1 Метод РунгеКутта четвертого порядка .
2.2 Оценки константы Липшица операюра сдвига
2.3 Оценки локальной ошибки
2.4 Оценка глобальной ошибки.
2.5 Заключение.
3 Отображение Пуанкаре
3.1 Введение.
3.2 Отображение Пуанкаре.
3.3 Доказательство Теоремы 3.2.1.
3.3.1 Критерий первого пересечения.
3.3.2 Доказательство Утверждения 3.3.1
3.3.3 Доказательство Утверждения 3.3.2.
3.4 Заключение.
4 Периодические траектории
4.1 Введение.
4.2 Метод разорванных орбит
4.2.1 Полиномиальные системы
4.2.2 Базовые множества периода
4.2.3 Доказательство леммы 4.2.3.
4.3 Примеры
4.3.1 Вращение 2х мерного векторного поля.
4.3.2 Пример 1 Отображение Эно
4.3 3 Пример 2 Уравнения 1.4
4.4 Заключение.
5 Хаотическое поведение
5.1 Введение.
5.1.1 Вспомогательные определения
5.2 Хаос в упрощенной модели ЛенгаКобаяши
5.3 Доказательства.
5 3.1 Доказательство Теоремы 5.2.1.
5.3.2 Доказательство Утверждения 5.2.1.
5.4 Заключение.
6 Сплитгиперболичность
6.1 Введение.
6.1.1 Сплитгиперболичность
6.2 Результаты.
6.2.1 Существование множеств Т5, В5
6.2.2 Пример малые гистерезисные возмущения
6.3 Доказательства
6.3.1 Вспомогательные результаты.
6.3.2 Доказательство Теоремы 6.2.1.
6.3 3 Доказательство Утверждения 6.2.1.
6.3.4 Доказательства Теоремы 6.2.2
6.4 Заключение.
7 Заключение
А Программы, написанные на С
В Программы, написанные для МаШетаНса
Введение


Оценки ошибок численного интегрирования позволяют ответить на вопрос определено ли отображение Пуанкаре на заданном множестве. В главе 3 обсуждается простой алгоритм, который показывает инвариантность множества из двух параллелограммов на полуплоскости, трансвсрсальной полю динамической системы 1. В частности, показывается существование компакт ного притягивающего множества как для отображения Пуанкаре, так и для потока, порождаемого рассматриваемым ОДУ. Применяемая методика доказательства хаотического поведения использует информацию о периодических траекториях дискретной динамической системы. Для локализации траекторий используется вращение векторного поля. В главе 4 рассмотрена взаимосвязь между вращением и множеством периодических траекторий принадлежащих открытому ограниченному множеству. Глава 5 содержит формальные определения хаотического поведения и основные результаты, полученные с использованием топологической гиперболичности и компьютерных вычислений с гарантированной оценкой точности. Показано, что система 1. С технической точки зрения доказательство локализует образы некоторых параллелепипедов содержащихся в инвариантном множестве. Топологическая гиперболичность, используемая в главе 5, не позволяет нам установить взаимнооднозначное соответствие между сдвигами на символических последовательностях и траекториями отображения Пуанкаре. Данный вопрос может быть исследован с использованием другой структуры, так называемой сплитгиперболичности. В главе б рассмотрены аналоги устойчивых и неустойчивых многообразий, образующихся в ситуации сплитгиперболичности. В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю проф. В.А. Соболеву за ценные замечания, обсуждение результатов работы и моральную поддержку. Поведение полупроводниковых лазеров с обратной связью очень разнообразно и представляет большой интерес как для промышленных приложений, так и для фундаментальной теории нелинейного анализа. Последние двадцать лет динамика подобных систем является предметом интенсивного изучения. Мотивацией для исследований служит и потребность в устойчивых регулируемых источниках лазерного излучения, и необходимость понимания сильно нелинейного поведения. Е2ЛГ. Здесь Е комплексная переменная, описывающая амплитуду электромагнитного поля, плотносгь носителей заряда. Численное моделирование уравнений успешно воспроизводит экспериментальные наблюдения, как то перескакивание частоты между собственными частотами внешнего резонатора и путь к хаосу через каскад удвоения периода . Однако, количество аналитических результатов невелико, поскольку рассматриваемая система бесконечномерна. В последних работах но динамике лазеров с обратной связью модель ЛеигаКобаяши была сведена к 3х мерной системе ОДУ, описывающей динамику мощности лазера Р Е2, плотности носителей заряда и фазового сдвига г о зависимости от времени. Переход производится в предположении, что г Р1 и что ф можно аппроксимировать как ф тт т2. Данная аппроксимация корректна, когда временная шкала фазовых возмущений существенно меньше, чем время возврата лазерного луча т. Упрощенное уравнение ЛенгаКобаяши, см. Аг , 1. Данная модель адекватно описывает феномен низкочастотных колебаний мощности, типичный для полупроводниковых лазеров с оптической обратной связью. Однако, при малом коэффициенте отражения 7, низкочастотная динамика лазеров до сих пор не была исследована. Численные эксперименты показывают, что при некоторых значениях параметров система 1. Рис. Данные значения параметров являются типичными для лазеров с малой обратной связью. Заметим, что ввиду нелинейности системы, дальнейшее исследование данной модели должно использовать компьютерные вычисления, но ни коим образом не может быть сведено к простым компьютерным экспериментам, вроде построения траекторий как на Рис. Ь 7ц 0. Рис. Типичные траектории системы 1. Данная работа посвящена детальному изучению динамики системы, изображенной на Рис. СО Г, х2 5 , х3 5т 2. Подставляя численные значения параметров, систему 1.