Исследование вопросов сходимости градиентных методов для решения обратных задач

• Автор: Аяпбергенова, Алтын Тусуповна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 107 с. : ил.

Оглавление
Ф
Введение

1 Одномерная обратная задача для уравнения акустики

1.1 Сведение к задаче нахождения акустической жесткости .

1.2 Сведение обратной задачи к операторному уравнению .

1.3 Исследование оператора А.

1.4 Исследование обратной задачи.

1.5 Метод итераций Ландвебера .

1.6 Метод наискорейшего спуска.

2 Начальнокраевые задачи для двумерных уравнений эллиптического и параболического типов
2.1 Сведение начальнокраевой задачи для уравнения Лапласа к
обратной задаче и операторному уравнению
2.2 Исследование оператора А для уравнения Лапласа.
2.3 Условная корректность задачи Коши для уравнения Лапласа.
2.4 Метод наискорейшего спуска для уравнения Лапласа
2.5 Сведение начальнокраевой задачи для двумерного уравне
ния параболического типа к обратной задаче и операторному уравнению
2.6 Исследование оператора А для параболического уравнения .
2.7 Метод наискорейшего спуска для параболического уравнения
3 Численное приложение для начальнокраевой задачи для уравнения Лапласа
Список литературы


По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на три основные группы (С. И.Кабанихин, (]): кинематические, спектральные и динамические. В кинематических обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются времена прихода возмущений от источников к поверхности исследуемой среды. При этом измерения могут проводиться как на всей поверхности, так и на некоторой ее части; источники возмущений могут пробегать всю поверхность (или некоторую ее часть) либо располагаться внутри исследуемой среды. В спектральных обратных задачах в качестве дополнительной информации задаются собственные значения соответствующих дифференциальных операторов и квадраты норм соответствующих собственных функций (при этом возможны и другие варианты задания дополнительной информации). В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило временииодобной, поверхности. Методы исследования динамических обратных задач для гиперболических уравнений можно разделить на прямые и итерационные (ЭЛ. КаЬаткЫп, А. Ьаеу, М. А.ЗЫзЫетп, []). К прямым можно отнести следующие методы: Гельфанда-Левитана, граничного управления, обращения конечно-разностных схем и линеаризации, которые позволяют определять решение в некоторых конкретных точках среды. В г. А.С. Алексесвым [1] впервые был рассмотрен ряд математических постановок обратных задач теории распространения упругих волн. Обнаружилась их связь с одномерными обратными спектральными задачами, рассмотренными И. М.Гельфандом и Б. М.Левитаном (), а также М. Г.Крейном (, и работы других лет). В работе А. С.Алексеева( [2]) идея обращения разностных схем впервые сформулирована в явном виде как один из возможных численных методов решения обратных задач для дифференциальных уравнений. Было предложено заменить все соотношения в исходной дифференциальной обратной задаче на их конечно-разностные аналоги. Получившуюся при этом систему (вообще говоря, нелинейных) алгебраических уравнений очень часто оказалось возможным решать достаточно быстро и эффективно, используя вольтерровость основных уравнений' акустики, электродинамики, теории упругости. А.С. Алексеева, В. И.Добринского( [4]), где установлена связь метода Кюнетца с дискретным аналогом метода Гельфанда-Левитана, С. И.Кабанихина( []). В зависимости от расположения источников и приемников возмущений волновые процессы можно классифицировать следующим образом: внутренняя и внешняя задачи просвечивании, внутренняя и внешняя задачи локации. В работе А. С.Алексеева, В. С.Белоносова( [3]) доказана полная эквивалентность этих задач. Показано, что любая из них может быть сведена к любой другой при помощи явных формул и преобразования Фурье. Поэтому результаты, полученные ранее для отдельных задач, применимы к решению остальных. Алгоритмы итерационных методов основаны на многократном решении соответствующей прямой задачи и ей сопряженной. Основные идеи метода сопряженного оператора прямой задачи, предложенного Г. И.Марчуком( []), изложены в работе А. С.Алексеева( [2]) в специализированном для обратных сейсмических задач виде. Первые численные результаты по решению одномерной динамической обратной задачи сейсмики опубликованы в работе A. Bamberger, G. Chavent, P. Lailly( []). Основным результатом первой главы является оценка скорости сходимости итераций Ландвебера, которая в отличие от предшествующих работ (M. Hanke, A. Neubauer, O. Scherzer, [], S. I.Kabanikhin, R. O.Scherzcr, [], S. I.Kabanikhin, K. T.Iskakov, M. Yamamoto, []) получена здесь "в целом”(то есть, для произвольной, но фиксированной глубины I) и без предположения о малости постоянной в основном условии сходимости (1. Ь2(1) (см. Раздел 1. В Разделе 1. В разделе 1. Л(Ф) = (2, где *Л(Ф) = Ф + #(Ф), а В нелинейный оператор вольтерровского типа. В разделе 1. Лемма 0. Ц) и пусть /' е Ь2(0,). Лемма 0. Если Ф € Ь2(1), /' € 1^(0,2/), то оператор А, определяемый (1.