Интегральные многообразия со сменой устойчивости и моделирование критических явлений в химических системах

• Автор: Щепакина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 285 с. : ил.

Оглавление
Введепие

1 Траекторииутки многомерных систем

1.1 Устойчивые и неустойчивые медленные интегральные многообразия

1.2 Системы со скалярной быстрой переменной

1.2.1 Существование траекторийуток многомерных систем

1.2.2 Асимптотические представления

1.3 Системы с векторной быстрой переменной

1.3.1 Существование и свойства траекторийуток.

1.3.2 Модель одномодового лазера.

1.3.3 Модель ЛоренцаХакена

1.4 Интегральные многообразия быстрых движений.
2 Моделирование критических режимов при помощи траекторийуток
2.1 Самовоспламенение в пористых средах
2.1.1 Автокаталитическая реакция горения
2.1.2 Реакция первого порядка.
2.2 Трехфазная модель самовоспламенения изоляции
2.2.1 Случай 1
2.2.2 Общий случай
2.3 Двухфазная модель самовоспламенения изоляции .
2.3.1 Качественный анализ системы.
2.3.2 Асимптотика критических условий.
2.4 Модель каталитического реактора.
2.4.1 Условия бифуркации
2.4.2 Устойчивость цикла.
2.4.3 Бифуркация периодического решения .
2.4.4 Траскторияутка в модели каталитического реактора0 2.5 Трехмерная модель автокаталатора
2.5.1 Анализ особых точек системы
2.5.2 Траекторияутка в модели автокаталатора
3 Интегральные многообразия со сменой устойчивости
3.1 Системы без сингулярных возмущений.
3.1.1 Вспомогательные неравенства
3.1.2 Существование функции ау
3.1.3 Существование интегральной поверхности
3.2 Интегральные многообразия со сменой устойчивости систем со скалярной быстрой переменной.
3.2.1 Вспомогательные неравенства
3.2.2 Существование функции ау,е
3.2.3 Существование медленного многообразия.
3.2.4 Модель полупроводникового лазера.
3.3 Дифференциальные свойства интегральных поверхностей
со сменой устойчивости
3.4 Случай векторной быстрой переменной
3 4.1 Вспомогательные неравенства
3.4.2 Существование функции оу,е
3.4.3 Существование медленного мншчюбразия
4 Критические явления и интегральные многообразия со сменой устойчивости
4.1 Управление процессом горения для а втокаталити ческой реакции
4.2 Управление процессом горения для реакции первого порядка
4.2.1 Управление процессом горения за счет теплоотвода
4.2.2 Управление уровнем запыленности в реакторе . . .
4.3 Интегральная поверхность со сменой устойчивости в модели трехмерного автокаталатора
4.4 Максимальная температура безопасного горения.
4.4.1 Затягивания потери устойчивости в скалярных
неавтономных дифференциальных уравнениях . . .
4.4.2 Максимальная температура горения.
4.5 Три типа бегущих волн горения.
Заключение
Литература


Аналогичные системы возникают в моделях теплового взрыва в случае автокаталитичсской реакции. При этом траектории-утки являются естественным математическим объектом, позволяющим моделировать критические явления и находить критические значения параметров в виде асимптотических разложений по целым степеням малого параметра е. Рис. Примера 3. Как было отмечено ранее, работы, посвященные исследованию траекторий-уток обычно содержат утверждения типа "Жизнь уток коротка". При этом только в работе |5] приведены достаточные условия, при которых этот факт имеет место, в то же время, нетрудно предложить примеры "вечно живых уток". Приме р 3. Xі + z2 - а2. Верхняя полуокружность неустойчива, нижняя — устойчива (см. Эта траектория существует при всех а2 > с2/4. Рассмотрим обобщение Примера 3 на случай dim у > 0. Для исходной системы тип особой точки сохраняется. В случае седла это хорошо известный факт. Се2**/' + - Г е2Ь(і-т>'7(т,? Ьх/? I + {)Яп+1Хп = b^2qnxn + 5^p„. Яп = (-Рп + “(я + %п-и) /ь, п = N - 1,. Ьг < 0 (неустойчиво при Ьг > 0). П р и м е р 4. Ь, Оо = - (о- + ? Ьг2 + ах + а + -^-а = 0. Соответствующая кривая является параболой с устойчивой (неустойчивой) ветвью при г > 0 (г < 0), см. Рис. Примера 4. П р и м е р 5. Ь, 0, то это уравнение эллипса (см. Когда а = Ь, мы получаем Пример 3. Рис. Рис. В случае ab < 0 мы получаем гиперболу. Пусть о- — е2/4 > 0. Правая ветвь этой гиперболы на рис. При а — е2/4 < 0 верхняя (нижняя) ветвь гиперболы является неустойчивым (устойчивым) медленным интегральным многообразием, см. П р и м е р 6. Случай а = е2/4 представлен на рис. Пример 7. Z — 2xz + а — у. Если считать, что а — функция переменной у, то при а = у получим интегральное многообразие z = 0 размерности 2, устойчивое при х < 0 и неустойчивое при х > 0. Пример8. X > 0, 2=0. П р и м е р 9. Пример . Здесь р, 9, г — непрерывные скалярные функции векторной переменной у. Н = -я{у)-хг(у). М) - яг(хН), каждая образующая которой есть траектория-утка. Приведем многомерный аналог Примера 3. П р и м е р . В качестве иллюстрации смены устойчивости медленного интегрального многообразия можно рассмотреть задачу управления с большим коэффициентом усиления. Я", и € Яг, ? В достаточно гладкие и ограниченные. Вектор управления и выбирается так, чтобы перевести вектор х из начального состояния х = хо в достаточно малую окрестность гладкой т-мерной поверхности 5(х) = 0. К — постоянная матрица размерности г х т, е — малый положительный параметр (2]. ЛМ(х,? С(х) = дБ/дх. Вырожденная алгебраическая система (? V, у = 0. AT_1(v,<)G(v)/(v,t) + 0{е2). Bx{v,t)KN~v,t)G(v)]f(v,t) + 0{е2). N-(x}t)G(x)f(x, t). V + 0(e))z. X = У + 0(? V = N-'Gf + 0[б) при v > 0 для всех t > 0. Д? в е~«'Д1? О (е-1*”1*) > ^ > 0, Ь > 0, е -> 0. П р и м е р . В этом случае N = 2Ку, где К — скаляр. К < 0 имеет интегральное многообразие со сменой устойчивости, описываемое уравнением г = 0. К(х2 + у7 - 1) имеет траекторию-утку х2 + у2 = 1. П р и м е р . Рассмотрим простейшую модель лазера. А(0 == Ао + ? И е, и 6 являются малыми величинами, а Ао = 0(1). А = ? Ау + 6. При 6 = 0 эта система имеет траекторию-утку у — 0. В физическом смысле эта траектория моделирует критический режим: при р = 2 она соответствует химической реакции, разделяющей области быстрых и медленных режимов; при р = 3, она разделяет два типа медленных режимов; в случае р = 3, к = 1 траектория-утка описывает единственный медленный режим. На рис. Эти траектории содержат устойчивонеустойчивый участок медленного движения вблизи траектории-утки у = 0, следовательно они являются локальными траекториями-утками. Таким образом глобальная траектория-утка у = 0 системы играет роль организующего начала при 6 = 0. I; р - I: Ми - -I! Ми 1;. I; «V*-<к! Ми*|;|р1*1. Рис. Рис. Медленная кривая и траектории системы (5) в случае р = 3. I! ер« - #. М|>1! Перейдем к описанию работы. Первая глава диссертации посвящена развитию теории траекторий-уток сингулярно возмущенных систем. В первом параграфе вводятся основные понятия и определения объектов исследования.