Апостериорные оценки точности приближенных решений вариационных задач для эллиптических уравнений дивергентного типа

• Автор: Фролов, Максим Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Обзор методов апостериорного контроля точности

1. Связь погрешности приближенного решения с нормой невязки соответствуюн к го дифференциального уравненыя

2. Явный метод невязок

3. Методы, основанные на решении локальных задач

4. Методы, основанные па усреднении градиента приближенного решения

5. Подход С.Г. Михлина

6. Метод двойственных мажорант

Глава 2. Построение надежных методов оценки качества

приближенных решений эллиптических краевых задач четвертого порядка

1. Аналог оценки С.Г. Михлина
2. Два типа двойственных мажорант для бигармони ческой задачи
3. Обоснование эффективности предлагаемого подхода
4. Двойственная мажоранта для задачи о пластине КирхгоффаЛява и ее вычислительные свойства
Глава 3. Практическое применение апостериорных оценок функционального типа
1. Алгоритмы вычисления мажорант погрешности
2. Сравнение метода двойственных мажорант с классическими
подходами метода конечных элементов
3. Эффективное совмещение возможностей пакета МЛТЬЛВ и
функциональных апостериорных оценок
4. Контроль точности и адаптивный алгоритм для бигярмоничсской задачи
Глава 4. Апостериорная оценка точности приближенных решений
задачи о пластине РейсснераМиндлина
1. Постановка задачи о пластине Рейсенера Миндлина
2. Вывод оценки погрешности функционального тина
Заключение
Литература


В настоящее время в рамках метода конечных элементов существует несколько устоявшихся подходов к построению апостериорных оценок погрешности. Первые из них были предложены в конце -х годов в работах И. Бабушки и В. Рейнболта (см. Дальнейшие исследования в этой области вызвали интерес многих авторов, что привело к появлению большою количества публикаций. Наиболее полное описание методов и ссылки на соответствующую литературу можно найти, например, в монографиях Р. Верфюрса |8|. М. Айнсвордса и Дж. Т. Одэна |9]. И. Бабушки и Т. Стро-булиса ||. Первым из подходов является так называемый метод невязок. И. Бабушки и В. Рейнболта (см. В дальнейшем метод, который подробно описан в первой главе диссертации, развивался и обобщался многими авторами (см. А. Миллер [|, Р. Банк и А. Вейзер ||, Р. Дюран к Р. Родригес [|, К. Эрикссон и К. Ионсон ||, К. Ионсои и И. Хансбо ||, Р. Верфюрс |, |, Дж. Стюарт и Т. Хьюз (|, Р. Верфюрс и К. Карстенсен |], К. Карстенсен [] и цитируемую в работах литературу). Первый из методов данной группы носит название явного метода невязок (explicit residual method). Он основывается на специальной конструкции оператора интерполирования, предложенной Ф. Клеманом в работе [| (ем. К. Бернарди и В. Жиро ||, К. Карстенсен и Р. Верфюрс ||). Данный оператор отображает элементы энергетического пространства в выбранное конечномерное подпространство. В этом случае апостериорная оценка включает в себя множество локально определяемых постоянных. Cj зависят от конкретной дискретизации. Как следствие, возникает необходимость, либо находить точные значения этих констант в процессе адаптации сетки (что практически невозможно), либо иметь метод, обеспечивающий их оценку. Однако, попытки практического применения таких методов могут привести к существенному завышению истинной величины погрешности. Так, например, в работе К. Карстенсена и С. Фун-кена \ переоценка значения нормы ошибки достигает раз даже в относительно простом случае. В торая группа мажорант погрешности, построенных на основе метода невязок, связана с решением последовательности локальных задач с граничными условиями тина Дирихле или Неймана. Впервые такой подход был предложен в работе [7| и носит название неявного метода невязок (implicit residual method). Методы этой группы являются более трудоемкими, но лишены вышеупомянутого недостатка, так как не содержат мультипликативных постоянных. Известно, что при специальной балансировке условий типа Неймана (equilibrated residual method), объединение соответствующих точных решений локальных задач по всем элементам будет обеспечивать гарантированную верхнюю оценку глобальной нормы ошибки. Однако, поскольку решить локальную краевую задачу точно представляется возможным только в исключительных случаях, то на практике метод не обеспечивает необходимых гарантий. Понятию с. В литературе под этим эффектом может пониматься улучшение аппроксимационных свойств приближенного решения, имеющее место и в некоторых точках конечных элементов. Л.Л. Оганесян и Л. А. Руховец ||. М. Кри-жек и П. Пейттааимякп |, ), Л. Уалбин (), М. Уидлер и Дж. Уайтмен [1, М. Зламал [, )). Первой работой, в которой описан индикатор ошибки такого рода, является работа О. Зенкевича и Дж. Жу ||. СУма — Уиа| будет служить индикатором погрешности IV« - У«„||. В силу своей исключительной простоты с теоретической точки зрения и незначительной вычислительной трудоемкости, в настоящее время метод получил широкое распространение. Различные процедуры усреднения градиента приближенного решения описаны, например, в книге М. Айнсвордса и Дж. Т. Одэна [9|, а также работах Р. Дюрана, Р. Родригеса и М. А. Мус-хиетти |, ). С). Зенкевича и Дж. Жу [|. Однако, следует отметить, что ст^югое математическое обоснование данного подхода возможно получить лишь при существенных дополнительных предположениях о гладкости точного решения исходной задачи. Тем не менее, в литературе можно найти достаточно много примеров, когда метод позволяет получать качественную индикацию погрешности даже в тех случаях, когда его применение не имеет строгого математического обоснования.