Численные методы для обратных нелинейных параболических задач и их приложения к моделированию критических условий теплового взрыва

• Автор: Китаева, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Введение. Глава I. Численный метод для задачи 1. Глава II. Доказательства и вспомогательные результаты. Численные алгоритмы и оценки погрешности. I 4. Численные алгоритмы и оценки погрешностей . Теорема существования и оценки производных. Численные алгоритмы и оценки погрешности. Нелинейные уравнения высокого порядка. Теорема существования решения и оценки производных. Численные алгоритмы и оценки погрешности. Глава III. Численные алгоритмы и оценки погрешности. Численные алгоритмы и оценки погрешности. Заключение. Настоящая работа посвящена численным методам решения некоторых классов некорректных сингулярно возмущенных задач для систем обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных и их приложениям к численному моделированию критических режимов теплового взрыва. Прикладное значение математической теории теплового взрыва фезвычайно велико для повышения эффективности энергетической системы, проектирования реакторов, двигателей внутреннего сгорания, моделей лазеров, механики полимеров и многих других задач и областей науки.


Особенностью данной задачи является то, что соответствующий искомому критическому значению параметра 6 режим описывается неустойчивым медленным интегральным многообразием, которое не может быть найдено численно при расчетах в прямом времени, так как вычислительная погрешность приводит к тому, что приближенное решение неизбежно срывается либо во взрывной режим, либо в область затухания. Возможный выход следует искать, применяя расчеты в обратном времени. Однако при переходе к обратному времени начальнокраевая задача для получающейся параболической системы становится некорректной, так как затухающие в прямом времени гармоники, являющися собственными функциями линейной части оператора задачи, становятся растущими в обратном времени, причем быстрее всего растут высокочастотные компоненты, реальный вклад которых в искомое решение ничтожно мал вследствие его гладкости. Поэтому предлагается алгоритм, суть которого состоит в попеременном движении в прямом и обратном времени, причем при движении в прямом времени фиксируются растущие компоненты вектора ошибки, а затухающие подавляются, а в обратном времени наоборот. Перейдем к изложению алгоритма. Н2Ъ. Неизвестные функции 0х,, тх, заменяются неизвестными сеточными функциями 0о, ту0, где верхний индекс I обозначает номер временного слоя, а нижний индекс 3 дискретную пространственную координату. С1 о, С С, чТ ч, г V,1, 0. Замечание 1. Схема 07 написана для случая плоскопараллельного реактора т 0. Для других форм реактора п 1, п 2 в 07 добавляется разностная аппроксимация первой производной по формуле центральных разностей. Решение сеточной задачи 07 находится по явным формулам. Однако, как отмечалось выше, данная схема является абсолютно неустойчивой, что подтверждается численными экспериментами. Поэтому расчетная схема 07 модифицируется. Введем обозначения. О1. I единичный оператор. Пусть е3 , тп , i 1 3, , 2т 1 ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора А в С, а через , , гг, у , i, 0,1, , 1 ортогональный базис Фурье из собственных векторов оператора Л в V. Пусть i i,2 3, ,2i, x,2 2 ,i линейные оболочки соответствующих групп векторов. Пусть Ру Р2 ортопроекторы на ЕУЕ2, 2 ортопроекторы на i2 соответственно. Все рассматриваемые на 0,1 векторфункции считаются продолженными четным образом на 1,0. Фиксируется натуральное 1. Пусть в вектор с компонентами 0. I , i,I2i2V

,2 0. Агп 1,

I I 1, , I 2, 0. I1 1,. Численная реализация формул 0 в частности, вычисление значений проекторов Ри Р2 3ь осуществляется с помощью дискретного быстрого преобразования Фурье д. Алгоритм Д1 позволяет решить задачу 07 при фиксировашюм значении параметра 8. Для отыскания критического значения 8 соответствующего переходному режиму, применяется алгоритм, называемый алгоритмом А2. Он состоит в следующем. Выбирается начальное приближение параметра 8 и вспомогательного параметра ас ас0 0. Если выполнено неравенство ас , где заданная точность, то вычисления прекращаются. Для данного 8 реализуется алгоритм А1. Далее приводятся результаты численных расчетов, которые хорошо согласуются с критическими значениями параметра, полученными для нулевого приближения е 0 Д. А.ФранкКаменецким. Линеаризация и частичная дискретизация параболических уравнений по пространственным переменным приводит к системам линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с незнакооиределенными матрицами. В 3 рассматриваются линейные системы фиксированного невысокого порядка. С 1. Здесь х х,Х2, ,хтт, ха x неизвестная векторфункция, i, 2, , шг, , 4 оо заданная векторфункция, . Пусть 7, Си константы, не зависящие от с и сеточных параметров, х оо шах хф х , нормы в . А1. А0 0. А2. Векторфункция равномерно ограничена при Е оо, Ьоо вместе с 2к 1 производными Ц,, 0 i 2кх 1. Доказывается, что при этих предположениях система 0. Далее рассматривается соответствующая дискретная задача. Пусть г 0 таково, что 1 С, 1 i , . Атпхп 4 тп. Доказывается, что задача 0. Теорема 1. Для ограниченых на всей оси решений систем 0. Сет. Далее ставится задача численного отыскания ограниченного на всей оси решения x системы 0 В силу условий А1 искомое решение будет неустойчивым как в прямом 2, так и в обратном времени.