Многоуровневые вычислительные схемы для решения трехмерных векторных уравнений Гельмгольца в неоднородных областях

• Автор: Нечаев, Олег Валентинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 118 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

1.1. Математические модели.

1.2. Современные методы решения задач электромагнетизма. Векторный метод конечных элементов

1.3. Многосеточные, многоуровневые методы и методы декомпозиции .

ГЛАВА 2. ВЕКТОРНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ И ИХ ДИСКРЕТНЫЕ АНАЛОГИ

2.1. Математическая модель

2.2. Векторная вариационная постановка

2.3. Дискретные подпространства.

2.4. Дискретные аналоги вариационных задач

ГЛАВА 3. МНОГОУРОВНЕВЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ
3.1. Двухуровневый итерационный решатель
3.2. Алгоритм решения СЛАУ, использующий ядро оператора .
щ 3.3. Многосеточный алгоритм
3.4. Мультипликативный алгоритм.
3.5. Особенности построения и реализации матриц перехода .
ГЛАВА 4. СТРУКТУРА ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА. ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
4.1. Структура программного комплекса.
4.2. Верификация программного комплекса.
4.3. Тестирование многоуровневых алгоритмов.
4.4. Моделирование работы высокочастотного каротажного зонда в
неоднородной среде
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Поэтому применение многосеточных и многоуровневых методов, не учитывающих этой особенности, не приносит ожидаемого эффекта. Цель работы. Разработка и реализация вычислительных схем на базе векторного метода конечных элементов, которые позволили бы выполнять многовариантные расчеты векторного электромагнитного поля (гармоническая зависимость от времени) в трехмерных областях с резко контрастными но физическим свойствам материалами. Для решения дискретного аналога векторного уравнения Гельмгольца, построенного при помощи элементов Неделека I-го и II-го типов, разработать специальные процедуры предобу-словливания. Методы исследования. Методы вычислительной математики. Сравнительный анализ результатов моделирования и имеющегося аналитического решения. Расчеты на последовательности сгущающихся сеток с последующим анализом сходимости к аналитическим решениям. На базе векторного метода конечных элементов разработан и реализован алгоритм моделирования гармонических по времени электромагнитных полей в трехмерных неоднородных по физическим свойствам областях. Разработана технология учета ядра rot оператора, при использовании векторных базисных функций Неделека низкого порядка I-го и И-го типов на параллелепипеидальной и тетраэдральной сетках. Гельмгольца на параллелен и иеидальной сетке. Численно показана его эффективность. С использованием алгоритма учета ядра разработан мультипликативный алгоритм решения системы линейных алгебраических уравнений, полученных при дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на тетраэдральной сетке, с использованием элементов Неделека 2-го типа. Численно показана его эффективность. Значимость работы. Предложены, реализованы и исследованы многоуровневые алгоритмы решения систем линейных алгебраических уравнений, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца при помощи векторного метода конечных элементов в неоднородных трехмерных областях. Для дискретизации непрерывной задачи использовались векторные конечные элементы 1-го и П-го типов первого порядка на параллелей и пеидальной и тетраэдральных сетках. На ряде тестов показана эффективность предложенных алгоритмов по сравнению со стабилизированным методом бисопряженных градиентов. При помощи разработанного комплекса программ было выполнено моделирование процесса высокочастотного каротажного зондирования для различных конструкций зонда и различных типов сред. Апробация работы. Региональная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Техника. Междуна! Объединенном семинаре института вычислительной математики и математической геофизики и кафедры вычислительной математики Новосибирского государственного университета. Новосибирск, ). Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 5 работ [Ю]—[], [], []. Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы (4 наименования). Работа изложена на 8 страницах, включая иллюстраций и таблиц. Первая глава посвящена современному состоянию проблемы и обзору литературы по тематике работы. В п. В п. В п. В и. В п. В п. Строятся локальные векторные базисные функции на паралле-лепипеидальных и тетраэдральных элементах. В п. СЛАУ), построенных в предыдущей главе. В п. СЛАУ. В п. В п. СЛАУ, полученных после дискретизации векторного уравнения Гельмгольца на параллелепипеидальных и тетраэдральных сетках соответственно. В п. Четвертая глава посвящена вычислительным экспериментам. В п. В п. Предложенные многоуровневые алгоритмы численно <• исследуются в и. В п. В случае однородных сред проведено сравнение данных, полученных численно и аналитически. Основные результаты исследования сформулированы в заключении диссертации. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант No5, грант No8 ), совместного международного проекта NWO * (грант 7. РФФИ (грант No3). Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность научному руководителю д. Элле Петровне Шуриной, а также руководству Института геофизики СО РАН и НПГ1ГА "Луч"и лично д. РАН Эпову Михаилу Ивановичу за помощь и поддержку при работе н ад ди ссертацией.