Метод численного решения релятивистских интегральных уравнений для системы двух частиц с нелинейной зависимостью от энергии связи

• Автор: Соловьева, Татьяна Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 120 с.

Содержание
Введение

Глава 1 Постановка задачи и функциональные свойства

операторов

1.1. Физическая постановка задачи описания связанной системы двух частиц

1.2. Постановка задачи в операторной форме

1.3. Исследование свойств операторов

1.4. Асимптотическое поведение собственных функций при больших значениях аргумента

Глава 2 Итерационный алгоритм и численные

эксперименты

2.1. Выбор аппроксимапионной схемы исходного оператора 2.2. Итерационный метод решения спектральной задачи с
оператором, зависящим от собственного числа
2.3. Программа
2.4. Результаты численных экспериментов по исследованию
сходимости итерационного метода к искомому решению 2.5. Оценки погрешности вычисления собственных чисел и собственных функций
Глава 3 Результаты численного решения квазипотенциальных уравнений с нелинейной зависимостью от энергии двухчастичной системы
3.1. Численное решение квазипотенциальных уравнений
32. Расчет частот переходов между уровнями и ширин распада
позитрония и димюония
Заключение
Приложение
Литература


Известные методы приближенного исследования таких уравнений (квазиклассика, теория возмущений по константе связи и другие) не дают полного представления о поведении волновых функций и спектра масс в наиболее интересной области констант связи для частиц, составленных из легких кварков (для которых существенную роль играют релятивистские и непертубативные эффекты). Широкое применение квазипотен-циального подхода требует появления новых численных методов решения квазипотенциальных уравнений. В диссертации разработан метод решения квазипотенциального уравнения, принимающего в импульсном пространстве вид интегрального уравнения, содержащего нелинейную зависимость от собственного числа — полной энергии системы. Неуклонное расширение области приложения интегральных уравнений стимулировало интенсивную разработку их теории [] и особенно приближенных методов решения. Появилось много работ по исследованию свойств различных типов интегральных уравнений, а также возможностей методов решения. При этом методы аналитического решения, основанные на понятии резольвенты, представляя собой мощный инструмент для исследования ряда практических задач, имеют вполне естественные ограничения в приложениях, поскольку ориентированы на определенный, далеко не полный круг задач и трудно реализуемы на ЭВМ. В то же время, интегральные преобразования [, ] представляют собой эффективный аппарат решения многих интегральных уравнений специального вида. Достаточно широкое применение для этой пели нашли, в частности, преобразования Фурье и Меллина. В связи с этим новый толчок в развитии получили ставшие уже классическими метод конечных сумм, проекционные и итерационные методы. Одним из самых действенных методов является сведение задачи решения интегральных уравнений к решению аппроксимирующих систем алгебраических уравнений, получаемых заменой интегралов конечными суммами. Метод квадратур [, ] широко распространен в практике, поскольку достаточно универсален в отношении принципа построения алгоритмов решения как линейных, так и нелинейных уравнений. Ряд методов решения интегральных уравнений основан на представлении приближенного решения функцией определенного вида, зависящей от свободных (неопределенных до окончания процесса решения) параметров []. В зависимости от способов представления приближенного решения и определения свободных параметров различают те или иные методы решения интегральных уравнений. Достоинствами метода наименьших квадратов [] являются независимость вычислительных процедур от вида решаемого уравнения и широкая область сходимости. Бубнова-Галеркина ] является одним из наиболее общих в группе проекционных методов. Различные конкретные задачи можно решать методом Ритца или методом коллокации []. В диссертации метод Бубнова-Галеркина используется при дискретизации исходного уравнения. Итерационные методы позволяют получить наиболее простые вычислительные алгоритмы решения интегральных уравнений. К тому же процесс решения нелинейных интегральных уравнений, несмотря на дискретизацию задачи каким-либо проекционным методом, часто не освобождает от необходимости применять итерационные процедуры при решении аппроксимирующих нелинейных конечных уравнений. В случае метода последовательных приближений сходимость обычно зависит от начального приближения и правой части (если она явно присутствует в уравнении). Таким образом, выбор начального приближения приобретает важное значение. Метод, предлагаемый в диссертации, является модификацией метода последовательных приближений. Решение нелинейных интегральных уравнений является сложной задачей вычислительной математики, что обусловлено трудностями как принципиального, так и вычислительного характера. В связи с этим разрабатываются методы, специально предназначенные для решения нелинейных уравнений. К таким методам относится метод Ньютона - Канторовича, который во многих случаях позволяет решать вопросы обеспечения и ускорения сходимости итерационных процессов [, , ]. Отличительные качества метода состоят в том, что он дает требования к начальному приближению, отыскание которого также является важной самостоятельной задачей, для решения которой не существует общего подхода. Выбор начального приближения определяется либо более детальным априорным анализом решаемого уравнения, либо физическими соображениями, вытекающими из существа задачи, описываемой этим уравнением.