Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных растворов

• Автор: Щерица, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Алгоритмы численного исследования фазовых переходов в многокомпонентных системах

1.1 Математическая модель

1.1.1 Основные уравнения.

1.1.2 Условия на фронте кристаллизации.

1.1.3 Начальные данные.

1.2 Алгоритм решения.

1.2.1 Замена переменных .

1.2.2 Разностная задача

1.2.3 Метод решения сеточных уравнений.

1.2.4 Результаты тестовых расчетов. Сравнение с полу
неявным алгоритмом.
2 Моделирование диффузионных режимов выращивания эпитаксиальных слоев.
2.1 Изотермический рост .
2.2 Рост с предварительным подрастворением подложки. Сс1Те
подложка.
2.3 Влияние диффузии в твердой фазе на динамику процесса
2.4 Рост из недосыщенного раствора. С1кНдхТе подложка.
3 Математическое моделирование ЖФЭ четверных соединений в двумерном приближении.
3.1 Математическая модель
3.1.1 Дифференциальная задача
3.1.2 Граничные условия на фронте кристаллизации . .
3.1.3 Начальные данные.
3.2 Разностная задача.
3.2.1 Модельный пример.
3.2.2 Решение концентрационной задачи
3.2.3 Решение системы сеточных уравнений. Метод Ньютона .
3.2.4 Решение линеаризованной задачи
3.2.5 Примеры тестовых расчетов .
3.3 Результаты расчетов
Приложение
Список литературы


Введение подобной процедуры позволяет получить обобщенное решение задачи Стефана с помощью экономичного алгоритма сквозного счета [9]. Однако эти методы весьма чувствительны к выбору параметра сглаживания, определить значение которого априори затруднительно. К тому же алгоритмы сквозного счета обладают сравнительно низкой точностью определения положения фронта кристаллизации. Использование процедуры сглаживания функции теплоемкости исключает возможность моделирования процессов переохлаждения и перегрева жидкой фазы. В указанных случаях такой подход может привести к ошибкам в определении температурного поля и скорости движения фронта кристаллизации. Среди методов, в явном виде отслеживающих положение границы раздела фаз, можно выделить класс алгоритмов [5,6,-], использующих подвижные разностные сетки, адаптирующиеся к изменению формы расчётной области. Дифференциальные уравнения аппроксимируются на перестраивающихся в процессе решения задачи сетках []. У.Мюррей и Ф. Ландис предложили использовать сетки с постоянным числом узлов, но изменяющимся шагом по пространству [,]. Разностная сетка строится так, чтобы фронт кристаллизации совпадал с узлом сетки. На каждом шаге по времени после определения распределения температуры и нового положения фронта кристаллизации пересчитываются координаты узлов сетки, а решение, полученное на предыдущем шаге по времени, интерполируется на новую сетку [5,6]. В другом классе методов в расчётах используются неподвижные разностные сетки []. Для этого в исходной задаче осуществляется замена переменных. Она выбирается так, чтобы в новых координатах границы расчётной области были фиксированы и совпадали с координатными линиями. При этом в уравнениях появляются дополнительные члены переноса, связанные с заменой переменных. Дифференциальная задача записывается в новой системе координат и после этого проводится её дискретизация. Таким образом весь алгоритм численного решения строится на фиксированной сетке [,,,]. Ландау [4,,), которое для каждой из фаз вводит новые пространственные переменные, например, в случае одномерной задачи области, занимаемые каждой из фаз, можно отобразить в отрезок [0,1]. Иной подход к выбору новой системы координат осуществляется в методе миграции изотерм [,], в котором зависимая и независимая координата меняются местами. В результате одна из пространственных переменных становится функцией температуры и остальных координат, и вся задача решается относительно нее. Но такие алгоритмы не обобщаются на случай, когда температура на границы раздела фаз непостоянна. Все эти методы достаточно точно отслеживают положение границы раздела фаз, но остается проблема аппроксимации граничных условий типа Стефана. Для построения точных разностных схем используются аналитические решения, верные только вблизи фронта кристаллизации []. Поэтому методами разделения переменных или средствами комплексного анализа проводят дополнительные исследования задачи []. Еще один подход к решению задач с подвижной границей - это использование динамически адаптирующихся сеток [-], в котором проблема построения расчетной сетки формулируется на дифференциальном уровне. При этом в дифференциальной задаче часть уравнений описывает физические процессы процессы, а другая - поведение узлов сетки. В основу метода положена процедура перехода к произвольной нестационарной системе координат. Преобразование координат осуществляется автоматически с помощью искомого решения, что позволяет производить размещение узлов сетки в зависимости от особенностей решения: больших градиентов или фазовых границ. Сгущение узлов в областях сильного изменения решения в методе динамической адаптации осуществляется с помощью функции преобразования, которая, вообще говоря, зависит от нескольких производных численного решения. Проблемы, связанные, с подвижными границами, снимаются посредством перехода к произвольной нестационарной системе координат, в которой узлы сетки и границы оказываются неподвижными. В этом отношение метод подобен лагранжевым. Однако имеет принципиальное отличие.