Разработка эффективных явных методов и комплекса программ для решения задач химической кинетики умеренной жесткости

• Автор: Кнауб, Людмила Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 123 с. : ил.

1.1. Основные определения.

1.2. Контроль точности вычислений.

1.3. Контроль устойчивости

1.4. Реализация методов с контролем устойчивости

Глава 2. Алгоритмы с контролем точности вычислений

2.1. Методы типа РунгеКутта

2.2. Схемы второго порядка точности.

2.3. Схемы третьего порядка точности

2.4. Алгоритм интегрирования на основе метода Мсрсона.

2.5. Анализ результатов расчетов

Глава 3. Алгоритмы с контролем устойчивости численной схемы.

3.1. Схема второго порядка точности.
3.2. Схема третьего порядка точности
3.3. Схема четвертого порядка точности
3.4. Анализ результатов расчетов
Глава 4. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага
4.1. Алгоритм интегрирования на основе двухстадийной схемы
4.2. Алгоритм интегрирования на основе трехстадийной схемы
4.3. Алгоритм с применением стадий Рунге Кутта Мерсона.
4.4. Анализ результатов расчетов
Глава 5. Комплекс программ ККСЮЕ и результаты моделирования практических задач
5.1. Комплекс программ ЯКООЕ для решения жестких задач.
5.2. Численное моделирование реакции ЬслоусоваЖаботинского, дающей сложный предельный цикл.
5.3. Численное моделирование проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма
Заключение
Приложение. Тестовые примеры.
Введение


При решении жестких задач это позволяет на каждом шаге выбирать эффективный с точки зрения вычислительных затрат метод. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Во введении дан обзор работ по теме диссертации и приведено краткое описание содержания диссертации по главам. Глава 1 посвящена построению неравенства для контроля точности и устойчивости явных методов типа РунгеКутта. В первом параграфе приведены основные определения во втором предлагается способ получения неравенства для контроля точности вычислений, а так же приведена формула для выбора величины шага интегрирования по точности в третьем изучается подход к построению неравенства для контроля устойчивости явных методов в четвертом рассматриваются вопросы реализации на ЭВМ явных методов с контролем точности и устойчивости численных схем. Данная глава реферативная и приведена для наглядности. Глава 2 посвящена построению алгоритмов интегрирования с контролем точности вычислений. Приведены результаты расчетов,
подтверждающие эффективность построенных алгоритмов. В первом параграфе получены соотношения, связывающие коэффициенты явных методов типа РунгеКутта и коэффициенты полинома устойчивости, приведены представления приближенного и точного решений в виде рядов Тейлора во втором на основе двухстадийной численной формулы построен метод второго порядка точности с неравенством для контроля точности вычислений в третьем на основе трехстадийной схемы построен метод третьего порядка с неравенством для контроля точности вычислений в четвертом изучается пятистадийный метод Мерсона четвертого порядка точности в пятом приведены результаты расчетов тестовых примеров, показывающие надежность неравенства для контроля точности вычислений. Глава 3 посвящена построению алгоритмов интегрирования с контролем точности вычислений и устойчивости численной схемы. Приведены результаты расчетов, подтверждающие повышение эффективности за счет дополнительного кроме точности контроля устойчивости. В первом параграфе построен алгоритм интегрирования на основе двухстадийной схемы типа РунгеКутта второго порядка во втором разработан алгоритм на основе трехстадийной схемы третьего порядка в третьем получено неравенство для контроля устойчивости методов Мерсона в четвертом проведены результаты численного сравнение алгоритмов с контролем и без контроля устойчивости. Глава 4 посвящена вопросам построения алгоритмов интегрирования переменного порядка и шага. Выбор эффективной численной схемы осуществляется на каждом шаге с помощью неравенства для контроля точности и устойчивости. В главе 5 описан комплекс программ ЯКСЮЕ для численного моделирования задач, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений умеренной жесткости. Приведены результаты численного моделирования модифицированного орегонатора, дающего сложный предельный цикл, и задачи проникновения помеченных радиоактивной меткой антител в пораженную опухолью ткань живого организма. В заключении сформулированы основные результаты, в приложении приведены тестовые задачи. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 3. Глава 1. В последнее время при получении неравенства для контроля точности одношаговых методов применяется в основном оценка главного члена глобальной ошибки, вычисленная тем или иным способом. По сравнению с использованием локальной ошибки это позволяет повысить надежность расчетов. В данной главе предложен способ оценки аналога глобальной ошибки, который не приводит к значительному увеличению вычислительных затрат. Такую оценку можно применять в алгоритмах интегрирования на основе явных численных схем. При применении явных методов для решения жестких задач шаг интефирования офаничен не точностью, а в основном устойчивостью численной схемы. Поэтому соответствующие алгоритмы на основе явных формул обладают малой эффективностью. Здесь предложен способ получения неравенства для контроля устойчивости методов с офаниченной областью устойчивости, что существенно повышает надежность расчетов.