Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики

• Автор: Манакова, Наталья Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 111 с.

Содержание

Обозначения и соглашения

Введение

1 Задача ШоуолтераСидорова

1.1 Предварительные сведения

1.2 Фазовые пространства

1.3 Однозначная разрешимость, эволюционный случай .

1.4 Однозначная разрешимость, динамический случай . .

2 Оптимальное управление

2.1 Функциональные пространства и дифференциальные

операторы.
2.2 Достаточные условия разрешимости
2.3 Обобщенное фильтрационное уравнение Буссинеска .
2.4 Уравнение Хоффа.
2.5 Уравнение Осколкова нелинейной фильтрации
2.6 Уравнение нелинейной диффузии
3 Приложения
3.1 Уравнение Хоффа.
3.2 Уравнение Осколкова.
Список литературы


Выражение "точно тогда, когда" заменяет выражение "тогда и только тогда, когда". Символ • лежит в конце доказательства. Пусть П С ограниченная область с границей дО. С°°. Л — Д)(т(з, 0) - 0:0(5)) = 0, 5 € П; (0. П х 1&+ (0. Л — А)хг = аД(|я|р_2х) 4- щ (0. Л — А)х I — аАх — |т|р~2а; 4- и (0. Л — А)хь = (Иу(|Ут|р_2Ух) 4- и. В цилиндре ОхЁ+ рассмотрим начально-краевую задачу (0. Л 4- Д)(т(5,0) - х0(5)) = 0, 5 е П (0. Л 4- Д)х* = ах 4- /Зхг 4- и. Уравнение (0. Е. С. Дзекцером []. Оно появилось в ответ на критику П. Я. Полубариновой-Кочиной [] фильтрационного уравнения Буссинеска, которое недостаточно полно моделирует процесс фильтрации. Более общее уравнение (0. Здесь искомая функция х = а:(в, ? Е Е+, Л Е Е характеризуют среду, причем параметр Л может принимать отрицательные значения; свободный член и = Ь) соответствует внешней нагрузке, т. Однозначная разрешимость задачи (0. Г. А. Свиридюком (анонсированный результат [], доказательства []), Г. А. Свиридюком и И. Н. Семеновой [] (с неоднородными краевыми условиями), Г. А. Свиридюком и М. В. Климентьевым [] (полученные выше решения продолжены на полуось К+). Во всех случаях показано, что фазовым пространством задачи является простое гладкое банахово многообразие. Напомним, что простым называется такое многообразие, любой атлас которого эквивалентен атласу, содержащему единственную карту). Уравнение (0. Искомая функция х = х(й, ? Задача (0. А. П. Осколковым [], [] и его учениками [] в случае положительности параметра Л. Однако экспериментально [2] было показано, что параметр Л может принимать отрицательные значения. Задача (0. Л е Е была изучена Г. А. Свиридюком и Н. А. Манаковой [3]. Показано, что фазовым пространством этой задачи служит простое банахово С^-многообразие. Уравнение (0. Свободный член и = и(з,? Однозначная разрешимость задачи (0. Г. А. Свиридюком []. Другими методами при Л 6 К+ данная задача была изучена Лиу Чангчунгом и было показано существование слабого решения [] и его асимптотические свойства []. Уравнение (0. Н. Дж. Хоффом [] в случае п = 1. Искомая функция х = х{э1 ? А 6 М+. Параметры а, 0 € характеризуют свойства материала балки; свободный член и = и($, ? Однозначная разрешимость задачи (0. Г. А. Свиридюком [], []. Здесь было показано, что фазовое пространство локально является банаховым С°°-многообразием. Простота фазового пространства была доказана Г. В. О. Казаком [] в случае а/З > 0, что охватывает физически осмысленную ситуацию. В подходящих функциональных пространствах X, 2) задача (0. Ь(х(0) - х0) = 0 (0. Ь х +М(х) = и. J(x,u) —> пип (0. Здесь 3{х,и) - некоторый специальным образом построенный функционал качества; управление и Е ИоЛ) где ИаС1 - некоторое замкнутое и выпуклое множество в пространстве управлений Н. Линейная задача оптимального управления (т. М : X —> 2) линеен и непрерывен) была изучена Г. А. Свиридюком и А. А. Ефремовым [], [] (см. Эти результаты были развиты В. Е. Федоровым и М. В. Плехановой [], [], [] и В. Е. Федоровым и О. А. Рузаковой []. Успех линейной теории во многом был предопределен тем обстоятельством, что фазовым пространством линейного уравнения служит подпространство некоторого банахового пространства. Именно простое банахово многообразие наименее отличается от подпространства. Основная наша задача заключается не только в поиске достаточных условий разрешимости задачи (0. Уравнения, неразрешенные относительно старшей производной, впервые появились, видимо, в работах А. Пуанкаре (см. Г. В. Демиденко и С. В. Успенского []). Затем они возникали в работах С. В. Озеена, Ф. К. Ж. Одквиста, У. Буссинеска, С. Г. Россби и многих других, что было связано с исследованием некоторых проблем гидродинамики. Ь и М (возможно, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, был С. Л. Соболев в -х годах прошлого столетия. В году в работе [] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа ле! С. Л. Соболева - Р. А. Алсксандряном [], С. А. Галь-перном [], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [], Т.