Разработка и исследование методов программного моделирования устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений на основе матричных мультипликативных преобразований разностных схем

• Автор: Буланов, Сергей Георгиевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 235 с. : ил.

Введение
Глава 1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости на основе разностных приближений решений систем линейных ОДУ с переменными коэффициентами.
1.1. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера
1.2. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода ЭйлераКоши.
1.3. Матричные мультипликативные критерии устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода РунгеКутта.
1.4. Прораммная иллюстрация работы матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера
1.5. Выводы
Глава 2. Зависимость мультипликативных критериев устойчивости от погрешности разностных схем численного интегрирования

2.1. Мультипликативные критерии устойчивости в случае одного уравнения .

2.2. Мультипликативные критерии устойчивости с конечным числом сомножителей

2.3. Зависимость мультипликативных и матричных критериев устойчивости от замены точного решения на разностное приближение по Эйлеру
2.4. Влияние на приближение возмущений систем линейных ОДУ порядка разностных схем
2.5. Оценка накопления погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости .
2.6. Программное моделирование погрешности метода Эйлера в условиях устойчивости.
2.7. Выводы
Глава 3. Программное моделирование матричных мультипликативных кри
териев устойчивости систем линейных ОДУ и численный эксперимент
3.1. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе метода Эйлера.
3.2. Численный эксперимент по моделированию устойчивостисистем линейных ОДУ с помощью матричных мультипликативных критериев на основе метода Эйлера
3.3. Программная модель матричных мультипликативных критериев устойчивости систем линейных ОДУ на основе разностных схем Эйлера Коши и Рунге Кутта
3.4. Численный эксперимент по моделированию устойчивости с помощью матричных мультипликативных критериев на основе методов Эйлера Коши и Рунге Кутта
3.5. Исследование качества работы программной модели при меняющихся значениях числовых параметров
3.6. Совмещение компьютерного моделирования устойчивости систем линейных ОДУ с приближнным решением и моделированием погрешности
3.7. Матричные мультипликативные критерии устойчивости для систем линейных ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов.
3.8. Выводы
Заключение
Литература


Для стандартного многочлена степени выше второй из положительности коэффициентов в общем случае не следует, что этот полином есть полином Гурвица. Пусть РЛ а0Л аЛ я . Гурвица. Р7Д 1иРЛя0Яя1Яя, . Все корни РЛ расположены в левой полуплоскости, поэтому РЛ имеет все корни в правой полуплоскости. Пусть с О некоторое положительное число. Я Я сР Я Я РЛ полином, присоединнный к РЛ . Степень вЛ на единицу больше, чем степень РЛ . Для каждого полинома Гурвица его присоединнные полиномы также являются стандартными полиномами Гурвица. Каждый стандартный полином Гурвица степени выше первой также является присоединнным полиномом для некоторого стандартного полинома Гурвица более низкой степени. Если полином А0Л Я1 А,Л . ЯЯ сЯ 0Я А еЛ , где с 0. Построим пространство полиномов Гурвица Н РХ. Этопространство представляет собой объединение пространств Ни соответствующих полиномам Гурвица различных степеней. Если РХ е Я, то присоединнный к нему А еЯи, если РХ е Нп, то существует такой Л е для которого РХ является присоединнным. Пусть РХ а0Х а,Д . По главной диагонали этой матрицы откладываются коэффициенты а а2,. Вправо по строке от этих элементов расположены коэффициенты с убывающими номерами, влево с возрастающими. Такая матрица называются матрицей Гурвица. Д. а. Критерий Гурвица. Д к 0, к 1 ,. ОДУ с постоянной матрицей коэффициентов . Устойчивость систем линейных ОДУ с почти постоянной матрицей. О,
2 ЛЯоо
также устойчива при х. Если система асимптотически устойчива при , то возмущнная линейная система также асимптотически устойчива, если для матрицы В и выполняется условие 1и0 при оо. Характеристический показатель Ляпунова. Достаточное условие асимптотической устойчивости. Ляпунова. Если матрица линейной системы 9 ограничена
то каждое нетривиальное решение имеет конечный характеристический показатель. Множество всех характеристических показателей решений системы 9 называется е спектром. Приводимые системы. Теорема Н. П. Еругина. Пусть снова рассматривается система линейных ОДУ 9. В постоянная матрица. Теорема Еругина. ДО1. Для приводимой системы справедливы следующие условия устойчивости. Приводимая система линейных ОДУ устойчива тогда и только тогда, когда все е характеристические показатели неположительны, причм нулевым характеристическим показателям отвечают простые элементарные делители, если их рассматривать как вещественные части собственных значений соответствующей постоянной матрицы. Приводимая система линейных ОДУ асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все е характеристические показатели отрицательны , . Системы линейных ОДУ с периодическими коэффициентами. Я , Я 0 . Ф0 непрерывная и непрерывно дифференцируемая 7 периодическая неособенная матрица, Ф0, Л постоянная матрица. Матрица называется матрицей монодромии. Собственные значения Яу матрицы Л называются характеристическими показателями системы 9. Собственные значения р у 1,. Для асимптотической устойчивости периодической системы необходимо и достаточно, чтобы все е мультипликаторы находились внутри единичного круга р1 ,. Метод последовательных приближений и первый метод Ляпунова. Элементы аи0 матрицы А непрерывные и ограниченные на о функции переменного , а компоненты Р,, У, ,. У векторфункции Р являются аналитический функциями переменных Ур. Уя при каждом значении г ег0,со. Если Р. У,,. Р,. Л Х X У. Р,, . М, С постоянные, не зависящие от г, ,уя, то на множестве 5 г0 со,ур,оРС сходится абсолютно и равномерно . Пусть задан конечный отрезок 0,,. У Уг0,У0 системы , где У0 у0. У0Р. У У, У2 . У, . УУ2. УВ. У г. Р,и ,й,,. Я1т конечная сумма членов разложения Р. Р Р2Р3. Л . Ри зависит только от У1, ,. Если потребовать, чтобы вектор УЯ удовлетворял начальным условиям У0 У0, УЛо 0, 2,3,. У удовлетворяет системе и начальному условию У0 У0. Компоненты Яп, г1,. Ят. Формулы , , определяют процесс последовательных приближений. А.М. А, 0АВ, что при всех начальных значениях Уц Уор Уо удовлетворяющих неравенству У А, ряд абсолютно и равномерно сходится при всех г, 2. Решение У У , 1,. У 0 У0. А.М. Ляпунов показал, что УД можно представить как сумму степенного ряда по степеням у0,.