Явление буферности и хаос в нелинейных волновых уравнениях

• Автор: Глызин, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Двухмодовые циклы нелинейного телеграфного уравнения

в случае резонанса 12

1.1. Постановка задачи.

1.2. Алгоритмическая часть.

1.3. Линейный анализ устойчивости

1.4. Обоснование алгоритмической части.

2. Периодические решения

и буферность в системе трех связанных

нелинейных телеграфных уравнений

2.1. Постановка задачи.
2.2. Алгоритмическая часть.
2.3. Анализ квазинормальной формы
2.4. Линейный анализ.
2.5. Основной результат
2.6. Численный анализ квазинормальной формы.
3. Буферность в системе
трех однонанравленно связанных
телеграфных уравнений
3.1. Постановка задачи.
3.2. Построение асимптотики цикла системы связанных
телеграфных уравнений.
3.3. Анализ устойчивости цикла. Основной результат.
3.4. Динамические свойства системы
амплитуднофазовых уравнений
4. Программный комплекс ТгасегЗ
4.1. Компилятор формул.
4.1.1. Особенности работы с анализатором формул.
4.2. ТгасегЗ, общая информация .
4.2.1. Построение фазовых портретов
4.2.2. Вычисление ляпуновских показателей
4.2.3. Метод Бенеттина .
4.2.4. Метод динамической перенормировки .
4.2.5. Метод динамической перенормировки
для дифференциальных уравнений
4.2.6. Эффективность и надежность метода динамической перенормировки
4.2.7. Зависимость старшего ляпуиовского показателя от параметра
4.3. Работа с программой .
4.4. Подробное описание интерфейса
Заключение
Литература


Было установлено, что в обоих случаях при достаточно большом числе звеньев в соответствующей системе может наблюдаться хаотическое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцилляторов. Предположим теперь, что в цепочках (0. Как будет показано ниже при рассмотрении конкретных примеров, для того, чтобы добиться требуемого эффекта, вовсе не обязательно брать цепочку из большого числа звеньев, как это обычно делается в случае сосредоточенных осцилляторов, или, как это было сделано в статье [], в которой рассматривались цепочки диффузионно связанных обобщенных кубических уравнений Шредингера или нелинейных телеграфных уравнений. Достаточно ограничиться некоторым минимально допустимым их количеством. В работе [] рассматривается система трех однонаправленно слабо связанных осцилляторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В данной работе в качестве парциальных осцилляторов были выбраны нелинейные уравнения гиперболического типа. Ф + + “3 ? Дирихле или Неймана. Цель работы. Основной целью данной диссертационной работы является изучение динамических свойств нелинейных краевых задач (0. Особое внимание уделяется условиям возникновения явления буферности в этих задачах. Методы исследования. Методом решения бифуркационных задач с бесконечномерным вырождением является метод квазинормальных форм, впервые предложенный в работе Ю. С. Колесова [3] для уравнений параболического типа с малой диффузией, а затем обоснованный и распространенный на уравнения гиперболического типа и на сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения с запаздыванием (А. В. Васильева [4), С. А. Кащенко [5-8), А. К). Колесов [9-], А. Ю. Колесов и Н. Х. Розов (-)). Однако, этот метод не позволяет автоматически распространять свойства решений квазинор-мальной формы на решения исходной задачи и как следствие говорить о их соответствии друг другу. Для обоснования такого соответствия необходимо оценивать невязку асимптотического приближения решения, полученного на основе грубых устойчивых режимов нормализованной системы (см. Научная новизна работы. В диссертационной работе предложено решение нескольких бифуркационных задач для уравнений и систем уравнений гиперболического типа. Найдены условия возникновения в этих задачах явления буферности. Доказано существование и устойчивость двухмодового цикла телеграфного уравнения с малым параметром при квадратичной нелинейности при наличии внутреннего резонанса 1:2. Показано наличие буферности в системе трех однонаправленно связанных осцилляторов без квадратичной нелинейности. Создан программный комплекс численного анализа динамических систем ТгасегЗ. Обоснован метод динамической перенормировки определения старшего ляпуновско-го показателя для отображений. Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Ее основные результаты могут быть использованы для анализа систем нелинейных волновых уравнений. Представленный в последней части работы программный продукт (ТгасегЗ) может найти и находит применение в качестве иллюстративного материала в учебном процессе и в качестве исследовательского инструмента при численном анализе инвариантных числовых характеристик динамических систем. Апробация работы. XXVII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. XXVIII Конференция молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, Москва, (В рамках общеуниверситетской конференции молодых ученых «Ломоносов-». VIII Крымская международная математическая школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (МФЛ-), Крым, Алушта, . Кроме того, результаты диссертации докладывались на ряде семинаров кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова. Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ [-]: 5 статей и 3 тезисов докладов. Из работ, выполненных совместно, в диссертацию включены результаты, полученные автором.