Периодические решения некоторых модельных систем дифференциальных уравнений на римановых многообразиях

• Автор: Данг Хань Хой
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Великий Новгород
• Количество страниц: 175 с.

Содержание
Введение

1 УРАВНЕНИЯ С ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ А

1.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНООПЕРАТОРНОЕ

УРАВНЕНИЕ С М ОПЕРАТОРОМ Аи и . .

1.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА ТОРЕ а0А аи ки.

1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА СФЕРЕ а0Д аЦи ки

2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

2.1 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ А. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ НА МНОГООБРАЗИИ
2 3 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
2 4 ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ УРАВНЕНИЯМ ВОЛ
НОВОГО ТИПА
3 НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ
3 1 НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРА
ТОРОМ А. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ .
3 2 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ ПА МНОГООБРАЗИИ .
З 3 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
3 4 НЕЛИНЕЙНОЕ ЭВОЛЮЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ НА СФЕРЕ
Д 1 о аД их, г еки
3.5 ПРИЛОЖЕНИЯ К НЕКОТОРЫМ НЕЛИНЕЙНЫМ УРАВНЕНИЯМ ВОЛНОВОГО ТИПА.
Литература


Первые положительные результаты в решение проблемы малых знаменателей на основе «метрического» похода были получены в г Д Боржином и Р. В - гг. А.Н. Колмогоров [] предложил метрическую концепцию и во всей полноте применил ее в задаче о движении на торе и в теории динамических систем. Мр, к € 1? Идея метрического подхода состояла в следующем: 1) использовался тот факт, что малые знаменатели для почти всех (в смысле меры Лебега) векторов и удовлетворяют некоторым оценкам снизу, 2) анализ сходимости рядов с малыми знаменателями проводился не для всех частот и), а только для множества частот, удовлетворяющих упомянутым оценкам. С = С(и) для почти всех (в смысле меры Лебе1 а в Ер) векторов ю. Библиография, связанная с проблемой малых знаменателей для обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть найдена, например, в монографии В. А. Якубовича и В. М. Старжинского []. Обзор работ, связанных с исследованием периодических решений некоторых уравнений с частными производными содержится в монографиях Б. И. Птаишика [, ] и О. Отметим некоторые результаты, относящиеся к задачам с условием периодичности но временной переменной Ь. Для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов периодическая по ? Трудности, связанные с малыми знаменателями, являются одной из причин того, что периодические краевые задачи для гиперболических уравнений (как линейных, так нелинейных) начали исследоваться сравнительно недавно. Первой в этом направлении была работа H. Р ~ Из? Z2k+l(t) sin(2A; -f 1)7Г? При доказательстве существования решения задачи (0. H.A. T < l;n ? N). Утверждается, чго при иррациональном а каждая функция ipn(UT) в отдельности ограничена, но совокупность всех функций <рп не ограничена (так как знаменатель bin(an7r/2) может принимать как уюдно малые значения для бесконечного множества натуральных п). Неравенство (0 0 ) удовлетворяют иррациональные числа, которые разлагаются в цепные дроби с ограниченными элементами, в частности квадратичные иррациональности Для отдельного случая впервые это было отмечено ГТ Соколовым в работе [], где исследована задача (0. N). Позднее, задача о периодических уравнений для различных гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными изучалась в работах [, , , , , , , ). Многомерные гиперболические задачи исследовались в работах [, , , 0]. В работах [, , , , ] исследовались периодические решения для гиперболических квазилинейных систем. Уравнениям более высокого порядка посвящены работы [, , ]. В работах [, , ] изучаются задачи о периодических решениях для линейных и квазилинейных параболических уравнений Аналогичные задачи для многомерных линейных и квазилинейных волновых уравнений рассматривались в [, 0]. Отметим, что в работе [0] областью изменения пространственных переменных является многомерная сфера. В работах Ю. Л. Дубинского []-[] исследуются периодические решения эллиптических, эллингико-параболических и дифференциально-операторных уравнений бесконечного порядка. В кандидатской диссертации [] были исследованы периодические решения некоторых линейных уравнений, содержащих естественный дифференциальный оператор на многообразии. Приведем (конечно - далеко не полный) обзор работ но периодическим решениям, опубликованных в последние годы. Исследования Li Donglong, Guo Boling [] посвящены изучению существования периодических решений чрехмериого комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. Дд - (1 + г//) - и2<7и -f /. Ш х Вау Ва = {х е Шп, ||х|| < а}. Дирихле. При определенных условиях на функцию <р(и) доказывается существование периодических решений малой амплитуды. В работе И. Л. Рудакова [] рассматривается многомерное волновое уравнение в шаре с условиями Дирихле на границе, при условии, чю нелинейное слагаемое удовлетворяет условиями нерезонансности. Д?-Д u + h(-) + f(u)=g(x,t). В нашей работе на основе метрической концепции исследуются вопросы корректной постановки некоторых неклассических задач о периодических решениях линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и систем Эти задачи объединены общей методикой исследования.