Модернизация полустатистического метода численного решения интегральных уравнений

• Автор: Берковский, Николай Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Содержание работы

Введение

1. Исходная схема иолустатистического метода

и доказательство сходимости в пространстве непрерывных функций

1.1.Краткая схема полустатистического метода

1.2.Некоторые соглашения и обозначения

1.3. Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций основные теоремы.

1.3.1. Вспомогательные рассуждения и леммы.

1.3.2. Основные теоремы о сходимости полустатистического

Ф метода и следствия из них

1.4. Основные итоги главы 1.

2. Модернизация полустатистического метода.
2.1. Наводящие соображения и мотивировка модернизации.
2.2.Теоремы сходимости для модернизированного полустатистического метода
2.3. Описание модернизированного полустатистического метода.
2.3.1. Методика расчета. Формула для приближенного решения.
2.3.2. Способы оценивания дисперсии в процессе вычислений
2.3.3. Оптимизация расстановки узлов случайной сетки
интегрирования
2.3.4. Практические рекомендации и замечания к схеме модернизированного полустатистического метода.
2.3.5. Итоговый анализ предложенной схемы
2.4. Результаты численных экспериментов
2.4.1 .Конкретные цели численных экспериментов.
2.4.2.Численный эксперимент 1
2.4.3 .Численный эксперимент 2.
2.4.4.Численный эксперимент 3
2.5. Основные итоги главы 2
3. Применение модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания плоской решетки газотурбинных профилей.
3.1.Введени е
3.2.Формулировка задачи обтекания лопатки
ЗАОсновныс соотношения модернизированного полустатистического
метода для задачи обтекания
3.5.Аназитическое задание контура лопатки
3.6.Алгоритм применения модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки профилей.
Результаты численного моделирования
3.6.1. Расчет скорости на лопаточных профилях
3.6.2. Анализ эффективности адаптации плотности
3.6.3. Расчеты на тестовых решетках
3.7. О выводе обобщенной формулы Коши для обтекания
решетки профилей
3.8. Исследование непрерывности ядра интегрального уравнения
задачи обтекания
3.9. Основные итоги главы 3.
4. Применение модернизированного полустатистического метода к
решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве
4.1. Введение.
4.2. Формулировка задачи и переход к интегральному уравнению
4.3. Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения
4.4. Оценка точности решения и алгоритм численного расчета
4.5. Оптимизация алгоритма
4.6. Примеры численного моделирования.
4.7. Основные итоги главы 4.
Заключение.
Список литературы


Вышеперечисленные методы также весьма трудоемки, поэтому нуждаются в конкуренции, которую и призваны составить хорошо разработанные численные методы решения интегральных уравнений. Впервые метод решения интегральных уравнений, содержащий детерминированные и статистические операции, и поэтому названный полустатистическим, был предложен в [1,9,] и использовался при решении стационарных задач вибропроводности и теории упругости, где его применение было достаточно успешным [1, , ]. К недостаткам полустатистического метода относится сравнительно невысокая скорость сходимости, свойственная, впрочем, всем методам, основанным на законе больших чисел. В ходе вычислительной практики, предшествовавшей написанию диссертации, выяснилось, что при численном решении стационарной задачи теплопроводности и задачи потенциального обтекания газотурбинных профилей потоком идеальной жидкости полустатистический метод, применяемый согласно «классической», первоначальной схеме, приведенной в основных источниках [1,7,] работает недостаточно эффективно. Даже при использовании адаптивного алгоритма оптимальной расстановки узлов интегрирования, который традиционно считается одной из сильнейших сторон метода, при некоторых граничных условиях не удавалось получить приближенные решения удовлетворительной точности. Последнее рассуждение привело к идее модернизации полустатистического метода (с целью обойти проблему нехватки узлов сетки интегрирования), и к необходимости математически строго исследовать вопрос о том, при каких условиях имеет место сходимость метода. Решению этих проблем, а также применению полустатистического метода в усовершенствованном, «модернизированном» виде к двум задачам математической физики: задаче обтекания решетки газотурбинных профилей и стационарной задаче теплопроводности посвящено настоящее диссертационное исследование. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Первая глава посвящена исследованию сходимости «классической» схемы полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказаны теоремы о вероятностной равномерной сходимости метода, и теорема о вероятностной невырожденности матрицы линейной системы, возникающей по ходу решения. Во второй главе проведена модернизация метода. Рассмотрены наводящие соображения, доказаны две теоремы, являющиеся теоретической основой модернизации. Теоретически выяснено, в каких случаях, встречающихся в вычислительной практике, модернизация должна быть эффективна. Численными экспериментами подтверждена прак тическая важность всех деталей модернизации. В третьей главе рассматривается применение модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки газотурбинных профилей потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Исходные данные по профилям взяты из расчетно-конструкторской практики. Кроме того, исследован характер сходимости метода на тестовых решетках. В конце главы находится параграф, касающийся обобщенной интегральной формулы Коши. Четвертая глава посвящена применению модернизированного полустатистического метода к стационарной задаче теплопроводности. Проведена регуляризация интегрального уравнения и рассмотрены тестовые примеры. Приведена эффективная формула для расчета температу ры как вдалеке, так и вблизи поверхности тела. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе. Большинство результатов диссертации опубликовано в статьях [2,3,4,5]. В главе 1 приведена исходная, не модернизированная схема полустатистического метода и впервые строго доказана сходимость этой схемы в пространстве непрерывных функций. Ввиду вероятностной природы полустатистического метода доказанная сходимость также носит вероятностный характер. Краткая схема полустатистического метода. М; = /(х), (1. К-ядро уравнения, /-известная функция, (р-неизвестная функция. Подробно этот метод изложен в [1]. Коротко рассмотрим схему его применения в случае непрерывного ядра. В данной работе схема метода немного изменена по сравнению со схемой, приведенной в [1], так как ядро и решение интегрального уравнения предполагаются непрерывными (см. Эти точки по очереди подставляются в (1.