Моделирование и анализ стохастических циклов нелинейных динамических систем

• Автор: Стихин, Павел Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 131 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предельный цикл детерминированной системы

I 1.1. Анализ устойчивости по системе первого приближения

1.2. Исследование локальной устойчивости системы Ресслера

ГЛАВА 2. Стохастическая чувствительность цикла

2.1. Эмпирический анализ стохастической чувствительности

2.2. Эмпирический анализ стохастической системы Ресслера

2.3. Аппарат функций стохастической чувствительности

2.3.1. Построение функции стохастической чувствительности

2.3.2. Спектральная декомпозиция матрицы чувствительности

2.4. Анализ стохастической чувствительности системы Ресслера

2.4.1. Скалярное описание стохастической чувствительности
циклов системы Ресслера
2.4.2. Геометрическое описание стохастической чувствительности циклов системы Ресслера
2.4.3. Стохастическая чувствительность системы Ресслера при переходе к хаосу
ГЛАВА 3. Обратные стохастические бифуркации циклов
3.1. Эмпирический анализ
3.2. Эмпирический анализ ОСБ циклов Ресслера
3.2.1. Общий эмпирический анализ
3.2.2. Детальный эмпирический анализ с использованием
плотности распределения
3.3. Анализ ОСБ с использованием аппарата ФСЧ
3.3.1. Анализ первой ОСБ
3.3.2. Анализ старших ОСБ
3.4. Анализ ОСБ циклов системы Ресслера с использованием
I аппарата ФСЧ
3.4.1. Общий анализ
3.4.2. Детальный анализ ОСБ с использованием аппарата ФСЧ
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Программный комплекс
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Численные алгоритмы
1. Расчет характеристических показателей Ляпунова алгоритм Бенеттина
2. Построение ЭФСЧ
3. Расчет теоретической функции чувствительности методом установления
4. Расчет теоретической функции чувствительности методом рядов
5. Алгоритм расчета спектральной плотности
6. Алгоритм расчета эмпирической плотности распределения в сечении
7. Алгоритм построения МНКаппроксимации эмпирической плотности распределения
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Излагается как эмпирический подход, предполагающий численное моделирование траектории, так и теоретический подход, опирающийся на использование аппарата ФСЧ. Система (0. Под воздействием малых случайных возмущений фазовая траектория системы (0 3) | покидает детерминированную орбиту Г и формирует вокруг нее некоторый пучок. В пункте 2. Г. Для трехмерного случая (п = 3) приводится статистический способ оценки сюхастической чувствительности Г. Рассматривается орюгональная циклу Г плоскость П4, построенная в точке ? I < Т). При моделировании пучка случайных траекторий формируется эмпирический массив ? Пе. По массиву Рг рассчитывается ковариационная матрица С. Для матрицы чувствительности 5 = ^ рассматриваются собственные числа О] > > ? П* При изменении ? Т) имеем функции ? ЭФСЧ), являющиеся мерой стохастической чувствительности цикла Г. В нункхе 2. Росслера. X + осу + ? Численные эксперименты показывают, чю пучки случайных траекторий системы (0. Г неоднородны по ширине. Рассматриваемая стохастическая бифуркационная диаграмма демонстрирует размытие тонких деталей детерминированной диаграммы под воздействием случайных возмущений. Для нескольких значений параметра р. ЭФСЧ, полученные для системы (0. Демонстри-рупся увеличение разброса ЭФСЧ для значений р близких к точкам удвоения периода Показана слабая зависимость ЭФСЧ от ? При изменении параметра р на интервале удвоения периода / вводяюя функции М3(р) = шах0<кт(д)? С помощью данных функций получена общая карпша роста стохастической чувствительности циклов системы Ресслера (0. В графиках М1 (ц) и Мг(^) присутствует весьма ощутимая шумовая составляющая. В пункте 2. Данная методика, получившая название аппарата ФСЧ, была развита в работах Ряшко Л В. Башкирцевой И. А В пункте 2. ФПК. В малой окрестное! А (у) = у — 7(у) - отклонение точки у случайной траектории от 7(1/) - ближайшей к у точки Г. С использованием аппроксимации v(y) асимптотика стационарного решения р(у,е) уравнения ФПК записывается в виде нормального распределения р,(у,е) с ковариационной матрицей ? А(у),Ф+(7(у))А(у)) р(у,е)» рЛУ,е) = К ¦ е 2е2 , (0. Матричная функция Ф(7) - функция стохастической чувствительности (ФСЧ) - характеризует реакцию системы вблизи точки 7 6 Г на случайные воздействия и описывает неравномерность ширины пучка случайных траекторий но всем направлениям вдоль собственных векторов. Матрица Ф(7) позволяет указать наиболее и наименее чувствительные к возмущениям участки Г. Рассматривается уравнение Ляпунова для матрицы W(t), задающей параметризацию ФСЧ: W(t) = Ф(? Г), а 0 < t < Т. Излагается метод решения уравнения Ляпунова (с использованием терминов P-устойчивости), предложенный в рабоьах Ряшко Л. Б. и Башкирцевой И. А Данный метод лежит в основе двух численных алгоритмов, используемых г в представляемой работе для численного расчета ФСЧ. Прямое использование ФСЧ в матричном виде не всегда является удобным. В пункте 2. Ф(0* Для фиксированной точки f G Г собственные числа Du D2,. Ф(? Ф(0 = ? D, ¦ VjVjT. Собственные числа D > > . П{. Данные функции являются скалярным представлением исходной функции чувствительности Ф(? П( вдоль соответствующих ортогональных направлений. Стохастическую чувствительность цикла Г удобно представлять в геометрической форме с использованием скалярных характеристик - собственных чисел (ФСЧ), и векторных - собственных векторов матрицы чувствительности Для трехмерного случая (п = 3) излагается методика геометрического анализа стохастической чувствительности Г В нормальном сечении IIt рассматривается доверительный эллпис Y(t) с центром в точке орбиты ? Т. Направления осей определяются векторами ^i(<) и v2(t), а длины -значениями ФСЧ D(t) и D2{t). При изменении t на всем интервале (0;Т) эллипсы Y(t) задают в фазовом пространстве системы (0. Демонстрируются изображения тора, полученные с помощью как плоского (flat shading), так и гладкого (smooth shading) метода закрашивания поверхности. Для гладкого закрашивания выбран известный метод Гуро формирования цвета точек грани путем интерполяции значений цвета на ее границах.