Математическое моделирование оболочек вращения сложных форм

• Автор: Пульпинский, Яков Семенович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 140 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБОЛОЧЕК.

1.1 Задачи моделирования формы оболочек вращения.

1.1.1. Математическое моделирование и оптимизация.

1.1.2. Выбор математических критериев оптимизации.

1.2. Минимальные поверхности и поверхности постоянной средней кривизны

1.2.1. Минимальные поверхности.

1.2.2. Поверхности постоянной средней кривизны.

1.2.3. Поверхности Делоне

1.2.4. Минимальные поверхности в природе.
1.2.5. Жидкие мембраны и проблема Хельфриха У. НеШсЬ
1.2.5.1. Особенности строения жидких мембран
1.2.5.2. Вариационная проблема Хельфриха У. Не1МсЬ.
1.3 Поверхности наименьшей площади в строительстве и машиностроении
ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЗУЮЩИХ
ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ФОРМ.
2.1 Поверхности вращения
2.2. Постановка задачи и вывод уравнений образующих.
2.2.1. Постановка задачи.
2.2.2. Кривизна и радиусы кривизны поверхности.
2.2.3. Краевые условия.
2.2.4. Приведение основных соотношений к безразмерному виду
2.2.5. Интегрируемые случаи
2.3. Классификация экстремальных поверхностей.
2.4 Приведение уравнения образующей общего вида к эллиптическим
интегралам.
2.5. Использование краевых условий для определения множителей Лагранжа
ГЛАВА 3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРИ
РАЗЛИЧНЫХ МНОЖИТЕЛЯХ ЛАГРАНЖА.
3.1. Нодоидные и ундулоидные поверхности
3.1.1. Уравнение образующей безмоментной равнопрочной
оболочки вращения
3.1.2. Определение постоянных интегрирования.
3.2.3. Приведение уравнений образующих к эллиптическим интегралам
3.2. Форма куполов храма Василия Блаженого
ГЛАВА 4 КАТЕНОИД И ПОВЕРХНОСТЬ КАТЕНОИДНОГО ТИПА
4.1. Катеноид.
4.2. Математическая модель поверхности катеноидного типа
4.2.1. Поверхность катеноидного типа, соединяющая два конуса
Выводы.
ГЛАВА 5 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ПенКа
5.1. Уравнение образующей и параметры поверхности
5.2. Определение постоянных С и X
5.3. Приведение к эллиптическим интегралам.
5.4. Интегрируемые случаи
5.5. Прямая
Выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


Математическая модель - это программа, реализующая некоторый алгоритм, для оптимизации управления которым прежде решается оптимизационная задача. Очевидно, образцом для построения математических моделей служит механика, начиная с классического труда Ньютона "Математические основы натуральной философии". Дальнейшее развитие механики вплоть до XIX века, связанное с именами, пожалуй, всех великих математиков и физиков ХУН-ХХ в. Гюйгенс, Лейбниц, Ферма, Эйлер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Гаусс, Герц, Максвелл, Пуанкаре - привело к построению грандиозного здания механики систем с конечным числом степеней свободы, а также и механики сплошной среды. Современная теория оптимизации'Включает в себя две большие части. Первая из них, математическое программирование, имеет дело с оптимизацией в конечномерных пространствах. Вторая, которую называют теорией оптимальных систем или теорией оптимального управления, изучает экстремальные задачи в функциональных пространствах. Большое влияние на развитие теории оптимальных систем оказало стремление создать конструкции, обладающие наилучшими, с том или ином смысле, характеристиками. Возникающие при этом задачи в большинстве своем являются задачами вариационного исчисления [, , , ]. От обычных вариационных задач их отличает наличие соотношений, задающих замкнутые области допустимых изменений всех или некоторых переменных, которыми описываются технические ограничения на параметры изучаемых систем. Такие задачи называют неклассичсскими задачами вариационного исчисления [5], хотя в вариационном исчислении таким системам внимание уделялось [1]. В теории пластин и оболочек часто встречается подход, который позволяет свести задачу оптимального проектирования к задаче математического программирования [, 8, ]. Сторонники этого подхода считают, что в конечном итоге в процессе численного решения все равно неизбежен подход к конечномерной проблеме. Такой подход считается правомерным. В обзоре В. Прагера [] прямо говорится: «оптимальное проектирование в упругой стадии приводит к задаче нелинейного программирования». Однако получение качественных результатов при анализе решения в задаче оптимального управления, как правило, возможно, в случае, если используется аппарат функционального анализа. Наиболее общей задачей оптимального проектирования механических - конструкций является проектирование трехмерных упругих конструкций []. В некоторых случаях управление может осуществляться поверхностной нагрузкой, действующей на упругое тело []. Задачи оптимизации внешних воздействий на заданные деформируемые тела или конструкции. Задачи оптимизации формы деформируемых тел, в которых осуществляется управление основными характеристиками деформируемого твердого тела или системы. Эти задачи называют обычно задачами оптимального проектирования механических систем (конструкций). Лагранжем. Это была задача о минимуме веса колонны, сжимаемой приложенной к её свободному концу силой. При решении задачи находилась форма колонны, отвечающая минимуму веса при заданной критической силе. Критерием качества или целевой функцией здесь являлся вес колонны. Эта задача вот уже более двухсот лет привлекает внимание исследователей. При оптимальном проектировании конструкции целевой функцией может служить не только масса или объём материала системы, но и её жёсткость, собственные частоты колебаний, критическая сила или другая функция, определяющая разрушение системы. При решении задач оптимального проектирования большое значение имеет выбор математической модели самой системы и модели её материала. Конкретизация модели системы или её отдельных частей часто проводится на основании анализа соотношений между размерами системы. Так, если один из размеров много меньше двух других, мы приходим к представлению о тонкой оболочке или тонкой пластине [, ]. В случае, когда один из размеров существенно больше двух других - приходим к модели тонкого стержня []. Для определённых соотношений размеров приходим к моделям плоских или симметричных задач теории упругости.