Алгоритмы и комплексы аналитически-численных программ для решения одномерных и двумерных уравнений Шредингера с полиномиальными потенциалами

• Автор: Беляева, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Оглавление
Введение.

Общая характеристика работы С

1 Решение задач на собственные значения методом нормальных форм для одномерных и двумерных операторов Шредингера
Введение.

1.1 Классическая нормальная форма БиркгофаГуставсона.

1.2 Квантовая нормальная форма

1.3 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью четвертой степени

1.4 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью шестой степени

1.5 Решение одномерного уравнения Шредингера с нелинейностью восьмой степени

1.6 Решение задачи на собственные значения для СгУ симметричного гамильтониана на основе метода нормальных форм
2 Решение задач на собственные значения для Сз и Съ симметричных гамильтонианов методом самосогласованного базиса
Введение
2.1 Описание метода.
2.2 Вычисление энергетического спектра и волновых функций
обобщенного гамильтониана ХенонаХейлеса
методом самосогласованного базиса
2.3 Спектр и волновые функции симметричного двумерного уравнения Шредингера
2.3.1 Классический предел
2.3.2 Основные уравнения.
2.3.3 Описание алгоритма
2.3.4 Результаты численных расчетов.
3 Аналитическичисленный метод решения одномерного уравнения Шредингера
Введение
3.1 Общая схема метода.
3.2 Описание алгоритма
3.3 Тестирование программы.
3.4 Ангармонический осциллятор с нелинейностью четвертой, шестой и восьмой степенью
3.5 Ангармонический осциллятор с двумя минимумами .
Заключение
Список литературы


Вычисление энергетических спектров и волновых функций для ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенью нелинейности по методу 4), включая симметричный ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами. Методы исследований: методы теории дифференциальных уравнений, метод классической и квантовой нормальной формы, методы компьютерной алгебры, методы вычислительной математики, прикладные программы. Научная новизна. На основе метода классических и квантовых нормальных форм предложен новый способ вычисления собственных значений и функций одномерных и двумерных дифференциальных операторов Шредиигера, разработан алгоритм и составлена соответствующая программа. С помощью этой программы получены собственные значения и функции для одномерных ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности и для двумерного обобщенного гамильтониана Хеиоиа-Хейлеса. Развит метод самосогласованного базиса для решения задачи па собственные значения для и симметричных двумерных гамильтонианов. Разработан алгоритм и составлены аиалитически-численные программы и проведены вычисления нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций указанных выше гамильтонианов. Предложен аналитически-численный метод, основанный на нахождении линейно независимых решений задачи Коши в виде обобщенных степенных рядов, с помощью которых решается задача на собственные значения одномерного дифференциального уравнения Шре-диигера. Разработан алгоритм и составлена аналитичсски-числснная программа, с помощью которой получено решение одномерного уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов с различной четной (4, б, 8) степенью нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя локальными минимумами. Практическая значимость и полезность полученных результатов. Диссертационная работа носит теоретический и практический характер. Результаты этого исследования могут быть использованы для исследования динамики нелинейных гамильтоновых систем и для решения задач на собственные значения их квантовых аналогов. Полученные программные средства в среде REDUCE могут быть применены для построения классических и квантовых нормальных форм нелинейных гамильтоновых систем полиномиального типа. Разработанные аиалитически-числениые алгоритмы и созданные на их основе комбинированные программы, реализованные на языке MAPLE, могут быть использованы для нахождения линейно независимых решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка и для решения задач на собственные значения для одномерных и двумерных уравнений Шредингера с полиномиальными потеи-циалами. Разработанные пакеты программ апробированы в учебном процессе при выполнении курсовых и дипломных работ студентами физико-математического факультета БелГУ. Положения выносимые на защиту. С$ь инвариантного полиномиального гамильтониана. Аиалитически-числеиный метод самосогласованного базиса для решения задачи на собственные значения для двумерного СоУ инвариантного полиномиального гамильтониана, алгоритм и реализующую его программу и результаты конкретных численных расчетов нижайших собственных значений и собственных функций. Аиалитически-числеиный метод решения задачи на собственные значения одномерных дифференциальных операторов второго порядка фуксовского типа, алгоритм и реализующую его программу. А также результаты численных расчетов нижней части энергетического спектра и соответствующих волновых функций ангармонических осцилляторов с четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности, включая ангармонический осциллятор с двумя минимумами. Обоснованность и достоверность полученных научных результатов и выводов обусловлена корректностью математических выкладок с использованием положений и теорем теории дифференциальных уравнений, исследованием на устойчивость полученных результатов в зависимости от параметров решаемых задач при аналитически - численных вычислениях и воспроизведением результатов, полученных другими методами и другими авторами. Апробация результатов.