Развитие и применение метода фиктивных канонических областей

• Автор: Гладкий, Сергей Леонидович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Метод фиктивных канонических областей

1.1 Теоретические основы метода фиктивных канонических областей

1.2 Некоторые типы краевых задач, решаемые методом фиктивных канонических областей

1.2.1 Стационарная задача теплопроводности

1.2.2 Статическая задача линейной теории упругости

2 Развитие метода фиктивных канонических областей

2.1 Оптимизация решений в методе фиктивных канонических областей

2.1.1 Оптимизация расположения фиктивных канонических областей

2.1.1.1 Демонстрация на численном примере

2.1.2 Оптимизация базисных разложений
2.1.2.1 Демонстрация на численном примере
2.1.3 Оптимизация весовых коэффициентов
2.1.3.1 Демонстрация на численном примере
2.1.4 Оптимизация решений с разрывными граничными условиями метод игнорирования окрестности
2.2 Решение нестационарных задач теплопроводности методом фиктивных канонических областей
2.3 Решение статических несвязанных задач линейной гермоупругости методом фиктивных канонических областей
2.4 Решение контактных статических задач линейной теории упругости методом фиктивных канонических областей
2.4.1 Постановка задачи и контактный алгоритм
2.4.2 Задача о замковом соединении лопатки и диска
3 Применение метода фиктивных канонических областей
3.1 Программа I
3.1.1 Сравнение программы I с программой, реализующей численный метод
3.2 Применение внутреннего языка программирования программы I для исследования НДС плашки
3.3 Задача определения рациональной формы отверстия
3.4 Моделирование процесса получения иску сственнокерамических покрытий
и определение рациональной формы электрода
3.4.1 Процесс ИКпокрытия и его математическая модель
3.4.2 Первый вариант процесса ИКпокрытия
3.4.3 Второй вариант процесса ИКпокрытия
3.4.4 Третий вариант процесса ИКпокрытия
3.5 Применение метода фиктивных канонических областей для верификации конечноэлементного расчета
Заключение
Список литературы


Неизвестные коэффициенты сп находятся из условия приближенного удовлетворения краевым условиям. Таким образом, метод ФКО является приближенным аналитическим методом. Решение краевой задачи, полученное методом ФКО, тождественно удовлетворяет дифференциальному уравнению, и приближенно краевым условиям. Рис. Исходное тело Э страницей ? Рис. У] , У2 и V, . Основной теоремой при выборе ФКО является теорема продолжимости [, 6,7]. Приведем ее формулировку. Теорема продолжимости. Теорема сформулирована и доказана для плоского случая ЛИ. Ясницким. Для общего случая доказательство выполнено С. Я. Гусманом. Доказательство С. Теорема И. Н. Векуа []: Пусть в конечной односвязной области 1)> ограниченной поверхностью Ляпунова задана гармоническая функция ? Согласно С. Я. Гусману [], делается предположение, что область V каноническая, или образована пересечением канонических областей. Поскольку, в силу (1. Для этих коэффициентов может быть только три возможных случая поведения. Случай 1. Если существует такая последовательность ек -»0, что для всех п последовательности Сп[? Гак как это разложение сходится и сумма гармонична, то из этого следует гармоническая продолжимость (/(х) в V . Случай 2. Если последовательность ся(^4) для всех я, А->оо и ? Из выделенного множества, в свою очередь, можно извлечь подмножество номеров к, для которых сходится последовательность с2 (<г4) и так далее. Таким образом, если в разложении (1. Случай 3. Если С/(х) не может быть гармонически продолжена в К, то по крайней мере для некоторых п сп(? V . Поскольку ? Адамару. Поскольку в практических вычислениях абсолютная величина коэффициентов с „(с) не может быть сколь угодно большой, то значение погрешности решения ? Полученные выводы обобщаются в [] в виде приведенной выше теоремы продолжимости. Далее в [, 6, 7] теорема продолжимости распространяется на бигармоническое уравнение, уравнения теории упругости и другие дифференциальные уравнения, общие решения которых, согласно [, 0-2,2], линейно выражаются через гармонические функции и их производные. Такое распространение возможно благодаря тому, что область сходимости рядов гармонических функций при дифференцировании не меняется. Главным преимуществом метода ФКО является возможность простой и надежной оценки полученных решений [, 6]. Это обусловлено тем, что дифференциальное уравнение удовлетворяется тождественно. Как показано в [6,7], для задач, в которых выполним принцип максимума (например, стационарных и нестационарных задач теплопроводности) может быть найдено точное значение максимальной погрешности решения. Поскольку максимальное значение искомой функции в этом случае реализуется на границе, то максимальная погрешность удовлетворения граничным условиям будет максимальной погрешностью решения. В любом случае, при решении задач методом ФКО, всегда существует возможность восстановить ту краевую задачу, решение которой методом ФКО удастся получить точно. Для этого достаточно вычислить полученные в результате решения значения искомой функции на границе 5 исходного тела й. Пусть мы решаем методом ФКО задачу с некоторыми граничными условиями, и в результате получаем решение задачи с некоторыми измененными, относительно исходных, условиями (рис 1. Ви(х) |5. Г(4 (1. Во многих реальных задачах, в силу их постановки, допускается отклонение граничных условий на некоторую величину. Это может быть связано, например, с тем, что условия получены при измерении в эксперименте, а измерительные приборы всегда имеют погрешность. То есть допускается некоторый диапазон значений граничных условий (рис 1. ФКО укладываются в допустимые, то вопрос об оценке решения вообще снимается. Фактически, мы получаем точное аналитическое решение краевой задачи (1. Конечно, данная задача отличается от изначально поставленной своими граничными условиями. Однако, иногда речь может идти об отличии в деся I ые и сотые доли процента. И, как доказано в теории метода ФКО, если выполняются условия приведенной выше теоремы продолжимости, разность между В* и В" будет стремиться к нулю, при N -> ад.