Методы расчета и моделирование дискретных стохастических систем с парными взаимодействиями

• Автор: Ланге, Андрей Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 126 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Глава 1. Марковские модели дискретных систем с взаимодействием

1.1. Марковские процессы на счетном множестве состояний

1.1.1. Процессы рождения и гибели.

1.2. Многомерные производящие функции.

1.3. Модель системы с взаимодействиями частиц типов Т,., Тп. Уравнения Колмогорова.

1.3.1. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции переходных вероятностей

1.3.2. Второе уравнение для производящей функции переходных вероятностей

Глава 2. Стационарное распределение в открытых системах с парными взаимодействиями

2.1. Открытая система при парных взаимодействиях с частицами одного типа.

2.1.1. Детерминированное приближение для стохастической модели.
2.2. Решение стационарного второго уравнения. Асимптотические свойства стационарного распределения
2.2.1. Модель со схемой 0 2Т, 2Т 0
2.2.2. Модель со схемой 0 Т, 2Т 2Т, 2 0,1 .
2.2.3. Модель со схемой 0 коТ 2Т кГ ко 1,2, 2 ОД
2.3. Вычисление математического ожидания и дисперсии в модели со схемой 0 коТ, Т кТу 2Т 2Т критический случай .
Выводы к главе 2
Глава 3. Распределение финального продукта в системах с превращениями и парными взаимодействиями
3.1. Модель дискретной системы со схемой взаимодействий
Тх 71 2Г1 7Г, 2
3.1.1. Детерминированное приближение для стохастической модели
3.1.2. Задача о финальных вероятностях
3.1.3. Первое уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей
3.2. Решение стационарного первого уравнения методом определенного интеграла при 7 0,1,2, 7 0,1,2.
3.3. Вычисление математического ожидания для финального распределения
3.4. Асимптотическая нормальность финального распределения при
7 0,1, 7 1,2.
Выводы к главе 3.
Глава 4. Статистическое моделирование дискретных систем с взаимодействием
4.1. Моделирование систем с взаимодействиями частиц типов 7ь.,Гп.
4.1.1. Алгоритм построения реализации марковского процесса .
4.2. Моделирование открытых систем с частицами одного типа .
4.2.1. Анализ детерминированного приближения марковского процесса
4.2.2. Бимолекулярная реакция 0 Т, Т сТ, 2Т с2Т,
к 0,2, Л2 1,3.
4.2.3. Бистабильная система.
4.3. Моделирование систем с образованием финального продукта . .
4.3.1. Докритический процесс
4.3.2. Надкритический процесс.
4.4. Модель конкуренции со схемой Т Ь Т2 7ь Т2, Т ь
Ть Т2 2Г2 2Г2 Т2.
Выводы к главе 4.
Результаты и выводы
Литература


Установлено [], что при большом начальном числе частиц типа Т в случаях докритического и надкритического процессов (когда среднее число потомков типа Т меньше и, соответственно, больше единицы) финальное распределение асимптотически нормально, а в случае критического процесса отлично от нормального закона. В работе [] получено уравнение для экспоненциальной производящей функции финальных вероятностей — стационарное первое уравнение. В [] задача о финальных вероятностях исследована для модели со схемой е{Г -* Т +Т2, ? В работах [], [] построены точные решения первого уравнения для моделей систем с парными взаимодействиями и исследованы асимптотические свойства таких моделей. И.С. Бадалбаев и A. В.А. Малышевым [] и др. N.G. Becker в работе [] рассмотрел стохастическую модель взаимодействия двух популяций со схемой вида 7 + Г2 —> Т2; 0 —> Т, Тч Т —> О, Т2 —* 0, Т —» 2Ti, Т2 —> 2Т2. В работе [] рассмотрены марковские модели динамики взаимодействующих популяций со схемами Т + Т2 —* 2ii, Т2 -> 2Т2 и Т +Т2 —> Г2, Т2 -* О, Т2 —> 2Т2, а также модели открытых систем со схемами Т + Т2 —> Т2, 0 —> Т2, Т —> и 7 + Т2 —¦ Т2, О 7i, 0 —> Г2, ”* 0. Колмогорова, и проведено сравнение полученных решений с решениями соответствующих детерминированных моделей. S.E. Hitchcock [] для модели «хищник-жертва» со схемой взаимодействий Т + Г2 —» 2Ть Т2 —» О, Т2 —» 2Т2 предложил метод приближенного нахождения вероятности вырождения популяции «хищников» (частиц типа Ti). Изложение результатов теории марковских процессов с непрерывным временем с точки зрения прикладных аспектов дано W. J. Anderson []. Явные решения уравнений Колмогорова дают возможность вывода тех или иных асимптотических свойств и предельных теорем для вероятностных распределений в марковских моделях с дискретными состояниями. Проблема получения точных решений уравнений Колмогорова представляет не только теоретический интерес, но и имеет практическое значение для исследования дискретных стохастических систем методами математического моделирования. Следует отметить, что количество систем, поддающихся точному анализу, невелико. К исследуемым в диссертации моделям с парными взаимодействиями частиц, при определенных условиях, накладываемых на параметры модели, применимы аналитические методы. Альтернативой являются численные методы Монте-Карло, позволяющие моделировать дискретные системы с произвольными кинетическими схемами, но часто требующие больших вычислительных затрат для обеспечения приемлемой точности расчетов. Марковские модели систем взаимодействующих частиц при дискретных состояниях, близкие к изучаемым в диссертации, исследовались через численный эксперимент в работах [], [] и др. Цель работы — получение асимптотических оценок и исследование характера предельных распределений в дискретных моделях с парными взаимодействиями: исследование стационарного распределения в открытой системе с внешним источником частиц; исследование финального распределения в системе с выходом конечного продукта. Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Установленный факт асимптотической нормальности стационарного распределения является новым для марковских моделей открытых систем с парными взаимодействиями. Модель системы с парными взаимодействиями и образованием финального продукта рассмотрена при наличии превращений отдельных частиц нефинального типа. Алгоритм статистического моделирования дискретных марковских систем с взаимодействием сформулирован в терминах общей кинетической схемы при произвольном распределении числа новых частиц для каждого комплекса взаимодействия. Методы исследования. Использовались методы теории вероятностей, теории марковских процессов, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотические методы анализа, специальные функции (функции Бесселя, гипергеометрические функции и др. Применялись численные методы моделирования марковских процессов, основанные на методе статистических испытаний Монте-Карло. Использовались средства программирования на ЭВМ (системы МаНаЬ, С4-+). Теоретическая и практическая ценность.