Особенности множеств уровня функции цены в линейных дифференциальных играх

• Автор: Кумков, Сергей Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Оглавление
Введение

Список обозначений

1 Узкие шейки в линейных дифференциальных играх

1.1 Лилейные дифференциальные игры.

1.2 Построение множеств уровня функции цены

1.3 Задача воздушного перехвата

1.3.1 Задача перехвата случай быстрого преследователя .

1.3.2 Задача перехвата случай медленного преследователя

1.4 Обобщенный контрольный пример Л.С.Понтрягина

1.4.1 Пример 1 .

1.4.2 Пример 2
1.4.3 Пример 3
2 Уровиевое выметание функции цены
2.1 Альтернированные суммы.
2.2 Связь операций над множествами и опорными функциями .
2.3 Локальная выпуклость .
2.4 Разность выпуклых функций
2.4.1 Контрпример к обобщению лемм 2.4.1 и 2.4.2
2.5 Доказательство факта о сохранении уровневого выметания .
2.5.1 Сохранение полного выметания при алгебраической
сумме.
2.5.2 Сохранение полного выметания при геометрической
разности
Оглавление
2.5.3 Контрпример к обобщению леммы 2.5.2.
2.5.4 Сохранение полного выметания при предельном переходе
3 Численное построение сингулярных поверхностей
3.1 Оптимальные движения.
3.2 Типы сингулярных поверхностей
3.3 Игры со скалярными управлениями
3.3.1 Построение сингулярностей в случае скалярных ограничений .
3.3.2 Пример 1 материальная точка на прямой.
3.3.3 Пример 2 конфликтноуправляемый осциллятор .
3.3.4 Пример 3 кнопка.
3.3.5 Сравнение с аналитическими результатами
3.3.6 Замечание к таблице классификации сингулярностей
3.3.7 Пример линии переключения за второго игрока с покиданием
3.3.8 Уточнение таблицы классификации сингулярностей .
3.3.9 Структура сингулярных поверхностей.
3.4 Игры с нсскалярными управлениями
3.4.1 Построение сингулярностей в случае нескалярных ограничений
3.4.2 Пример 1 задача воздушного перехвата
3.4.3 Пример 2 обобщенный контрольный пример
Л.С.Понтрягипа
Литература


Результаты численных построений, приведенные в первой главе, сравниваются с результатами этих работ. В заключительном разделе первой главы представлены примеры линейных дифференциальных игр с несколькими узкими шейками. Они выбирались из класса игр, называемого в российской литературе «обобщенный контрольный пример Л. С.Понтрягипа». Опыт, накопленный в процессе исследования задачи воздушного перехвата, позволил провести осознанное и целенаправленное построение этих примеров. Вторая глава посвящена доказательству свойства уровневого выметания функции цены. Эго свойство заключается в том, что в каждый момент времени /-сечение меньшего множества уровня функции цены полностью выметает [8] /-сечение большего множества уровня. Доказана теорема о наследовании такого свойства функцией цепы, если им обладает функция платы. При помощи контрпримеров показана специфичность такого свойства для линейных дифференциальных игр второго порядка но фазовой переменной с непрерывной квазивыпуклой функцией платы. Третья глава диссертации связана с алгоритмами автоматического построения сингулярных поверхностей в линейных дифференциальных играх. Рассматривается тот же класс игр, что и в первых двух главах. Собирая сингулярные линии с разных множеств уровня, можно построить сингулярные поверхности в пространстве игры. Описаны алгоритмы построения сингулярных поверхностей для случая, когда управления игроков являются скалярными и ограниченными по модулю, а также для случая строго выпуклых компактных ограничений на управления игроков. Рассмотрение сингулярных поверхностей составляет основу книги Р. Лйзекса. Им предложена классификация сингулярных поверхностей: экивокальиые, рассеивающие, универсальные, поверхности переключения. Необходимые условия, связанные с различными типами сингулярных поверхностей, рассматривались в работах Р. ВегпЬагс! А.А. Меликяпа []. Автору неизвестны работы, в которых описывались бы численные алгоритмы автоматического глобального построения сингулярных поверхностей. Алгоритмы для скалярного случая существенным образом используют специфику алгоритма построения множеств уровня функции цены, описанного в первой главе. Алгоритмы для нескалярных ограничений основаны на выявлении негладкостей множеств уровня функции цены и дальнейшем анализе динамики их развития. В настоящее время пока не удалось провести полное аккуратное обоснование разработанных алгоритмов. Однако правильность их работы тщательным образом проверялась на примерах, в которых сингулярные поверхности были исследованы аналитическими методами [, , , ]. Л.С. Коши Х(Т, ? Исследуются четыре примера линейных антагонистических дифференциальных игр с геометрическими ограничениями на управления игроков, фиксированным моментом окончания и квазивыпуклой терминальной функцией платы. Предполагается, что функция платы зависит только от двух компонент фазового вектора в момент окончания. Это позволяет осуществить переход к эквивалентной игре с двумерным фазовым вектором. Все подобранные примеры демонстрируют наличие «узких шеек» множеств уровня функции цены игры (максимальных стабильных мостов). Вблизи таких узких шеек сосредоточена значительная часть особенностей функции цены или, иными словами, наиболее сложные сингулярные поверхности. Правильное воспроизведение соответствующих множеств уровня требует весьма точных численных построений. В противном случае возможно искажение формы сечений множеств уровня или даже преждевременный обрыв построений. Первый из рассматриваемых примеров представляет собой в линейном приближении математическую модель задачи преследования управляемой ракетой некоторой воздушной цели (самолета или другой ракеты). В этом примере возникает множество уровня с одной узкой шейкой. Остальные три примера являются исключительно модельными. Они специально подбирались для того, чтобы продемонстрировать причины возникновения узких шеек, одной или нескольких. Все разобранные примеры относятся к классу дифференциальных игр, называемых в российской литературе «обобщенный контрольный пример Л. С.Понтрягина».