Компьютерный метод кусочно-полиномиального приближения решений обыкновенных дифференциальных уравнений в применении к моделированию автоколебательных реакций

• Автор: Джанунц, Гарик Апетович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 223 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
Глава 1. Компьютерный метод кусочнополиномиального решения систем ОДУ обыкновенных дифференциальных уравений, ориентированный на моделирование автоколебательных реакций.
1.1. Компьютерная кусочнополиномиальная аппроксимация функций с вариацией длины подынтервала и степени полинома
1.2. Параллелизм и оценка временной сложности кусочнополиномиальной аппроксимации функций
1.3. Компьютерная кусочнополиномиальная аппроксимация производной и вычисление определенного интеграла.
1.4. Компьютерный метод варьируемого кусочнополиномиального приближения решения задачи Коши для ОДУ
1.5. Кусочнополиномиальное решение ОДУ с разностным вычислением узловых значений по методу Эйлера
1.6. Равномерная сходимость кусочнополиномиального приближения решения задачи Коши для ОДУ и оценка скорости сходимости.
1.7. Кусочнополиномиальное решение задачи Коши для систем ОДУ с разностным вычислением узловых значений методами высших порядков

1.8. Численный эксперимент при моделировании динамики популяций

1.9. Выводы.
Глава 2. Моделирование химических и биологических осцилляторов с применением кусочнополиномиального метода решения систем ОДУ.
2.1. Компьютерное моделирование колебательных реакций БелоусоваЖаботинского
2.1.1. Описание химической реакции БелоусоваЖаботинского и модель ФилдаНойеса
2.1.2. Численный и программный эксперимент на модели ФилдаНойеса для реакции БелоусоваЖаботинского
2.2. Компьютерное моделирование суточных колебаний концентрации озона в атмосфере.
2.3. Компьютерное моделирование релаксационных автоколебаний в системе гликолиза.
2.4. Сравнительные характеристики моделирования периодических реакций на основе предложенного и известных методов.
2.5. Выводы
Глава 3. Численный и программный эксперимент по кусочнополиномиальному решению нежестких систем и линеаризация ОДУ
3.1. Дополнительный эксперимент по сравнению кусочнополиномиального решения жестких задач с системами компьютерной математики.
3.2. Численный эксперимент по варьируемому кусочнополиномиальному решению нежестких систем на основе разностных методов малого и высокого порядка
3.3. Численный эксперимент по моделированию автоколебаний в системе химических реакций на основе модели брюсселятор
3.4. Разновидность кусочнополиномиального приближения решения задачи Коши для систем линейных ОДУ.
3.5. Оценка трудоемкости кусочнополиномиального решения ОДУ
3.6. Параллелизм кусочнополиномиального решения системы ОДУ с учетом применения к процессу моделирования
3.7. Кусочнополиномиальная линеаризация задачи Коши.
3.8. Варьируемое кусочнополиномиальное решение ОДУ в аспекте сравнения с известными методами
3.9. Выводы
Глава 4. Кусочнополиномиальное приближение решений уравнений в частных производных.
4.1. Аналог одномерной кусочнополиномиальной аппроксимации для случая функций двух переменных.
4.2. Кусочнополиномиальное приближение решений линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа
4.3. Численный эксперимент по кусочнополиномиальному приближению решений ДУ в частных производных
4.4. Численный эксперимент по моделированию вынужденных колебаний струны
4.5. Выводы.
Заключение
Литература


Как уже отмечалось выше, колебательные движения являются одной из наиболее быстро развивающихся областей в теоретической биологии . Существует множество полезных математических моделей пространственно однородных колебаний во времени. Считается, что многие клеточные процессы носят колебательный характер и присущее им ритмичное поведение обеспечивает устойчивую основу динамической самоорганизации развития клетки . Последние годы отмечены повышением интереса к исследованию биологических и биохимических систем, в которых появляются незатухающие колебания временные и пространственные. Обзорные статьи по колебательным химическим и биохимическим реакциям опубликовали Николис и Портнов, Нойес и Филд , Грей и Гольдбер и Каплан , , , . История изучения колебательных реакций началась с работы Лотки , который на примере теоретической реакции впервые показал возможность существования затухающих колебаний. Позже Лотка предложил механизм реакции, носящий теперь имя ЛоткиВольтерра . Следующим историческим событием в области колебательных реакций стала колебательная реакция БелоусоваЖаботинского . Белоусов обнаружил колебания в концентрации катализатора, в его реакции окисления лимонной кислотой броматом в этом качестве выступал церий. Колебания проявлялись в изменении цвета церия, связанными с переходом Се3 в Се. Этот эффект ярче проявляется с атомом железа цвет изменяется с кирпичнокрасного, когда железо находится в состоянии Те2, на яркоголубой, когда железо находится в состоянии Ге3. Изучение реакции было продолжено Жаботинским и сейчас эта реакция известна как реакция БелоусоваЖаботинского. В случае, когда компоненты реакции могут диффундировать, образуются разнообразные сложные структуры. Это явление получило широкий резонанс среди биологов и физиков, интересующихся проблемами пространственновременной самоорганизации и ее применения в биологическом формообразовании . БЖ применятся, главным образом, к классу реакций, в которых органическое вещество окисляется ионами бромата в присутствии иона металла в кислом растворе 3. Хотя реакция БЖ представляет скорее химический, чем биологический осциллятор, она рассматривается как прототип биологической колебательной системы. Модельная система для реакции БелоусоваЖаботинского, предложенная ФилдКерешНойесом , количественно воспроизводит реальные химические реакции. Так как теоретические гипотезы могут быть проверены экспериментально, модели реакции БЖ используют как прототип реальной системы. Краткий обзор развернутой реакции БЖ приведен в . Упрощенная модель, предложенная Филдом и Нойесом, получила название орегонатор . А, В исходные реагенты, Р, 2 продукты реакции, X, У, г промежуточные соединения бромистая кислота НВгй2, бромидион Вг, Се4. Концентрации исходных реагентов полагают в модели неизменными. АУк,ХУ к. ВХк, 2. Численные значения констант скоростей прямых реакций оценены Филдом и Нойесом из экспериментальных данных . Безразмерная форма записи модели орегонатора представлена в виде
нар. Для моделирования используют значения параметров 5 . Система 6 является примером жесткой системы, компоненты решения которой быстро изменяются по величине на много порядков. На основании изложенного можно сделать вывод о том, что проблема решения жестких задач с высокой точностью остается актуальной, в частности, в аспекте математического моделирования автоколебательных реакций. Метод, подобранный для аппроксимации с высокой точностью одного типа задач, не встречается при приближении решения задач другого типа. Иными словами, существующие методы приближения решения задачи Коши для ОДУ не инвариантны относительно вида жесткой системы. Необходимо отметить, что существуют проблемы непрерывности полученного приближения, актуальна задача оптимизации распределения узлов интегрирования, в зависимости от гладкости решения на различных участках отрезка интегрирования. Диссертация посвящена уточнению существующих моделей химических и биологических осцилляторов на основе разработки для таких задач специального численного метода и создания комплекса программ, реализующего разработанный метод.