Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения

• Автор: Чистякова, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Постоянные матрицы и полуобратные к ним.

1.2 Пучки постоянных матриц.

1.3 Пучки переменных матриц.

1.4 Методы вычисления полуобратных матриц.

1.5 Необходимые сведения из теории интегральных и дифференциальных уравнений.

2 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ

ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Нелокальные теоремы существования для дифференциальноалгебраических уравнений

2.2 Обобщения теоремы Хопфа о бифуркации рождения цикла
и теоремы Боля.
2.3 Нелокальные теоремы существования вырожденных интегро
дифференциальных уравнений.
2.4 Разрешимость вырожденных интегродифференциальных систем индекса 1 в общем случае
2.5 Теорема о разрешимости линейных интегродифференциаль
ных уравнений, основанная на свойствах многопараметрических пучков матриц.
2.6 Теоремы разрешимости вырожденных интегродифференциальных уравнений со слабой особенностью в ядре.
3 НЕИТЕРАЦИОННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
3.1 Методы РунгеКутта.
3.2 Многошаговые методы
3.3 Методы решения уравнений индекса 2.
3.4 Регуляризирующие свойства разностных схем .
3.5 Численные эксперименты.
4 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
4.1 Общие принципы формирования моделей электрических и
гидравлических цепей.
4.2 Двухконтурная электрическая цепь.
4.3 Модель электрического генератора.
4.4 Двухконтурная гидравлическая цепь
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


В частности, при решении прикладных задач, исследователи предполагали существование нелокальных решений, опираясь на адекватность модели [4, 7, , ). С этой точки зрения, с приходом в данную область математиков существенных изменений не произошло. Несмотря на большое количество работ, посвященных дифференциально-алгебраическим и вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям и опубликованных за последние лет, начиная с первых работ (,,,,] и заканчивая такими обширными монографиями, как [], ряд вопросов исследован недостаточно. Это вопросы нелокального существования решений нелинейных систем вида (В. Так, в настоящее время доказан ряд теорем существования решений для некоторых задач вида (В. В.2). Л(? Для них в [], [] были сформулированы и доказаны достаточные условия существования решений, имеющие, однако, только локальный характер в случае нелинейной вектор-функции ? Следует отметить, что большое влияние на развитие теории вырожденных систем оказало замечание Ф. Р. Гантмахера [, с. ДАУ с постоянными коэффициентами. На этой основе большой вклад в теорию ДАУ и численные методы их решения внес Ю. Е. Бояринцев. В монографиях [,,] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучков матриц коэффициентов, структуры общего решения ДАУ (В. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. ДАУ, названное позже пограничным слоем ошибок. Суть этого явления состоит в том, что в первых точках сетки отклонение разностного приближения от решения ДАУ стремится к бесконечности с порядком 0(1/Ик~1) при стремлении шага сетки Л к нулю. Здесь к - индекс пучка матриц Л АЛ- В. Дальнейшие исследования ДАУ связано с понятиями критерия ранг-степень" (см. ДАУ (]. При этом все получаемые условия разрешимости носят строго локальный характер. Глубокие результаты получены в аналитической теории дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части с приложениями к уравнениям в частных производных [, ]. Для таких уравнений доказаны теоремы существования, разработаны асимптотические методы, построена теория обобщенных решений, изучены вопросы конвергентности и бифуркаций Андронова-Хопфа, в том числе в условиях групповой симметрии. Также изучены проблемы корректности, ветвления решения и регуляризации. В работах Г. А и В - некоторые операторы, действующие в банаховых или топологических пространствах в предположении, что ядро оператора А нетривиально. При определенных предположениях относительно спектра пучка операторов А А 4- В вводится понятие квазистационарного решения, т. I - единичный оператор, а 0 - оператор проектирования на пространство, в котором лежит нильпотентная часть оператора А. Доказаны локальные теоремы разрешимости. Следует отметить, что нелокальная разрешимость ДАУ достаточно хорошо исследована для линейных автономных систем [, , ]. A(t)x(t) + / K(t, s)x(s)ds = f(t), t € T, det A(t) = 0 Vf € T, (Б. ДАУ, но их изучение ведется рядом ученых. В частности, сотрудниками H. A. Сидорова и им самим выполнен большой цикл работ по исследованию ИДУ с вырожденным оператором при старшей производной искомой вектор-функции в конечномерном и бесконечномерном случаях с упором на последний (см. В данном цикле работ основным приемом исследования линейных систем вида (В. Шмидта, с помощью которого исходная задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода. Затем на преобразованную задачу налагается ряд условий, в рамках которых доказываются теоремы существования и единственности. В частности, предполагается, что j-ая производная ядра оператора Вольтерра по первому аргументу не вырожденна. Уравнениям Вольтерра IV рода (В. Булатова М. В. ([, , , ]). В данных работах получены критерии разрешимости уравнений с ядром типа свертки, введено понятие индекса, обоснована а-регуляризация. В работе [] изучено уравнение Вольтерра IV рода вида (В. Доказана теорема о существовании и единственности решения, обоснован численный метод с аппроксимацией интеграла по формуле правых прямоугольников. В работе [] проведены аналогичные исследования системы (В. A{t) = 0.