Методы и алгоритмы исследования математических моделей регулярно и сингулярно возмущенных динамических систем

• Автор: Коняев, Юрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 206 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.
1. Общий метод исследования моделей регулярных и сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач
1.1. Единое интегральное представление решения регулярных начальных и многоточечных задач
1.2. Построение квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для линейных систем ОДУ

1.3. О существовании контрастных решений линейных сингулярно возмущенных задач

1.4. Асимптотический анализ некоторых сингулярно возмущенных задач на полуоси

2. Анализ регулярных и сингулярно возмущенных моделей, представленных многоточечными краевыми задачами со слабой и сильной нелинейностью.
2.1. Об однозначной разрешимости некоторых классов нелинейных многоточечных краевых задач
2.2. Условия существования единственного и равномерно ограниченного на отрезке ОД при 0 решении сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач

со слабой и сильной нелинейностью

2.3. Итерационный метод построения асимптотического разложения решения сингулярно возмущенной краевой задачи со слабой нелинейностью .
3. Модели, представленные начальными и краевыми задачами с подвижной особой точкой .
3.1. Системы линейных ОДУ с аналитическими коэффициентами при наличии простых и кратных особенностей
3.2. Изучение сингулярно возмущенных начальных и краевых задач для систем дифференциальных уравнений с одной и двумя подвижными точками
3.3. Сингулярно возмущенные начальные и краевые задачи с особенностями разных типов.
4. Критерий устойчивости решения некоторых классов моделей неавтономных квазилинейных систем .
4.1. Регулярно возмущенные системы с периодическими коэффициентами.
4.2. Исследование сингулярно возмущенных систем с периодическими коэффициентами
4.3. Анализ модельных дифференциальных уравнений с полиномиально периодическими коэффициентами .
4.4. Система ОДУ с нормальной матрицей.
5. Алгоритмы исследования математических моделей в
форме неавтономных дифференциальных систем при наличии регулярных и сингулярны возмущений
5.1. Модельные задачи при наличии регулярных возмущений.
5.2. Исследование устойчивости модельных систем с полиномиально периодическими коэффициентами .
5.3. Различные варианты решения физических задач при наличии сингулярных возмущений
6. Дополнение. Некоторые вопросы теории регулярных возмущений
6.1. Решение спектральных задач в конечномерном случае
6.2. Альтернатива методу диаграмм Ньютона в задачах теории ветвления
Заключение
Литература


Последний результат позволил создать новый алгоритм для построения квазирегулярной асимптотики решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач, когда особенности решения, отражающие структуру каждого пограничного слоя, выписываются в замкнутой аналитической форме , , , , 1, 2, 4, 5, 7, 8, 0, что является обобщением некоторых работ Лиувилля, Биркгоффа, Тамаркина и Ломова. Это дало возможность создать эффективный дискретный алгоритм нахождения собственных значений и собственных функций спектральных задач для линейных дифференциальных операторов например, для задач ШтурмаЛиувилля и Дирака, включая и многоточечный случай. Известные асимптотические методы решения сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач неприменимы или мало эффективны. Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, на использовании современных аналитических и асимптотических методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов. Для теорем даны строгие доказательства. Полученные результаты неоднократно докладывались и обсуждались на научных семинарах и конференциях. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. Апробация работы. Результаты исследований, представленных в диссертации, многократно докладывались на семинаре Ломова С. А. МЭИ, Дубинского Ю. А.МЭИ, Мартыненко Ю. Г. МЭИ, на семинаре Васильевой А. Б. и Бутузова В. В.М. МГУ, Моисеева Е. РАН Матросов В. М., а также на Всероссийских и Международных семинарах и конференциях Вторая Всероссийская конференция Нелинейные колебания механических систем, Нижний Новгород, Международное совещание Сингулярные решения и возмущения в системах управления, ПереславльЗалесский, , , Всероссийское Совещание Теория и приложения методов малого параметра, Обнинск, Международная конференция Дифференциальные уравнения и их приложения, Самара, Международная конференция Современные направления в компьютерной физике, Дубна, , , Международная конференция Математическая физика. Математическое моделирование и приближенные методы Обнинск, Международная конференция, посвященная летию Кудрявцева Л. Д., Москва, . Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 научных работах, среди которых монография, статьи в научных журналах, труды конференций. Тридцать работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России. Структу ра и объем диссертации. Диссертационная работа изложена наостраницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав, дополнения, заключения и списка литературы из 9 названий. В первой главе Общий метод исследования регулярных и сингулярно возмущенных начальных и многоточечных задач изложен метод построения единого интегрального представления решения начальных и многоточечных краевых задач для линейных систем ОДУ, а также алгоритм квазирегулярного асимптотического представления решения большого класса сингулярно возмущенных многоточечных краевых задач для линейных систем, в том числе для тихоновских систем с быстрыми и медленными переменными, а также для некоторых сингулярно возмущенных модельных задач с особенностями. Представленный алгоритм существенным образом опирается на новое простое интегральное представление решения многоточечных краевых задач не требующее построения функции Грина и позволяющее рассматривать начальные и краевые задачи с единой точки зрения с помощью одного общего интегрального представления или уравнения. Теорема 1. Ах ос 1 т п
х,Г Д0,0С0,1 0 ,. У7 0 где произвольная
фундаментальная матрица однозначно разрешима и е решение может быть представлено в виде
х Ф0С ф Ж, 1. Ф, Л1ф, к 1т, Р. Ф0. Замечание. Следует отметить, что при т 1 представление 1. Коши решения начальной задачи, а в случае 2тп мы имеем интегральное представление решения различных вариантов краевых задач. Й,. Фях 0,. Теорема 1. Ф0. ЧР и при этом разность матриц А1В0 достаточно мала по некоторой норме, тогда при условии се1 Ф О
0 решение задачи 1. XУ0С ШхД4 Ьх, 1. Если в уравнении 1. У У ДО 0 а, у1 а2 1. Грина алгоритм е построения заметно усложняется при исследовании многоточечных л3 краевых задач, Р фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения. Действительно, после несложных преобразований имеем
г ФС ф,0 ф5й5Л ф2 ф. УФг
ф,0 .