Математическое моделирование функции влияния упругой сети на основе принципа Хикса

• Автор: Ладченко, Яна Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ставрополь
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИЙ ВЛИЯНИЯ И ГРИНА

1.1 Общие контуры проблемы

1.2 Корректное описание модели

1.3 Выводы

ГЛАВА 2. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ

2.1 Функция влияния упругой задачи на графе

2.2 Существование функции влияния

2.3 Выводы

ГЛАВА 3. АНАЛИЗ УСОВЕРШЕНСТВОВАННОЙ МОДЕЛИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

3.1 Свойства функции влияния
3.2 Функция влияния и проблема собственных колебаний
3.3 Приближенное решение краевых задач для системы трех связанных струн
3.4 Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


И если к конфигурации исходной системы применить термин граф (пространственная или топологическая сеть), то во всех внутренних узлах графа, в которых смыкаются соседние фрагменты, условия взаимодействия этих фрагментов приводят к условиям связи между решениями соответствующих уравнений. Как трактовать эти условия? Как краевые? Хуже всего, что для корректного описания этих условий во внутренних узлах требуется опора на матрицу инциденций исходного графа. Так что даже сама постановка исходной задачи в математических терминах становится невообразимо сложной. Если же вспомнить о необходимости использования матрицы инциденций при описании как-либо добытых свойств, то только это способно отбить охоту у любого математика. Описание трудности аналогичного характера объясняют причину того, что при очевидной актуальности задач на сетях у математиков руки серьезно дошли сравнительно недавно - чуть более лет назад. Наиболее продвинутыми здесь оказались работы, подытоженные в монографии [6] воронежской математической школы Ю. В. Покорного. В настоящее время интерес к подобным задачам возрастает во всем мире [-]. Цель работы. В настоящей работе сделан очередной шаг в анализе задач на сетях. А именно: корректное вариационное определение функции влияния для системы упругих континуумов, мы заменяем анализ системы уравнений (0. Точное определение функции влияния мы даем, исходя из генетически первого физического смысла, а именно. Если Г - сеть, параметризующая данный объект, то для любой точки %еГ через Н(х,? Г. Реальное состояние объекта мы определяем, следуя одному из главных физических постулатов, а именно -вариационному принципу. Ф(и(-)) = itdF (0. Г—>И. Р(х) охватить сосредоточенные импульсы внешней нагрузки. Опора на выражение (0. Грина. Однако в рамках этой схемы существенно предположение о существовании второй производной неизвестного нам решения, что уже невозможно при наличии импульсов у внешней нагрузки. Относительно допустимого класса функций и(х), описывающих возможные деформации системы, мы предполагаем лишь, что каждая функция и(х) абсолютно непрерывна и ее производная и'(х) имеет о1граниченную вариацию. Последнее предположение, допускающее у и'(х) разрыва (т. В работе построен анализ описанного объекта, не входя в теорию дифференциальных уравнений второго порядка. Тем не менее, нам удается изучить ведущую частоту собственного колебания исходной системы в тех случаях, когда не слишком хорошие параметры (например, сосредоточенные массы) не позволят применять известные ранее результаты. Степень обоснования научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации. Все результаты диссертации строго обоснованы в форме четких математических доказательств. Цель работы. Математическое моделирование функции влияния упругой сети. Разработка соответствующей теории функции влияния с прицелом на принцип Хикса. Корректное математическое описание функции влияния на основе вариационных принципов. Анализ основных свойств функции влияния как функции Н(х^) двух переменных на Гх Г. Математически корректная мотивация условий трансмиссии (склеивания) в узлах сетки. Выяснение свойств типа регулярности (непрерывность по каждой переменной и совокупная, гладкость по каждой переменной и проч. Построение эффективного представления функции влияния с помощью вспомогательных простых функций. Установление свойства Хикса. Проверка применимости к изучаемой модели традиционных для классических задач с регулярными параметрами проекционных численных методов. Методы исследования. В работе использованы методы анализа дифференциальных и интегральных уравнений, теории интеграла Стильтьеса, методы абстрактной теории полуупорядочснных пространств М. Крейна - М. Красносельского, методы теории краевых задач на геометрических графах. Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты работы показывают, что полученные ранее многими авторами результаты для задач на графах справедливы для значительно более общих задач. Подчеркнем особо теоретическую и практическую эффективность опоры на функцию влияния, показанную в работе. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений, теории меры и интеграла.