Исследование математических динамических моделей рынка вальрасовского типа

• Автор: Червонная, Елена Андреевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 184 с. : ил.

Введение
1. Глава 1. Обзор существующих динамических моделей рынка товаров, их модификация и обобщение и постановка задач исследования

1.1. Развитие вальрасовского подхода в описании динамики рынка

1.1.1. Модели рынка без учета запаздывания в поставках товара

1.1.2. Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель

1.1.3. Модели вальрасовского типа с запаздываниями

1.2. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа

1.2.1. Случай малого запаздывания при линейных функциях спроса и предложения

1.2.2. Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения

1.3. Построение модификаций моделей рынка вальрасовского типа

1.3.1. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа второго порядка

1.3.2. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа третьего порядка
1.3.3. Модели вальрасовского типа со многими товарами
1.4. Сводка динамических моделей рынка. Постановка задач исследования
2. Глава 2. Численные методы решения систем с запаздыванием. Моделирование рынка товаров
2.1. Обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
2.1.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом
2.1.2. Аналитическое решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и запаздыванием
2.1.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов
2.1.4. Численные методы типа Адамса
2.1.5. Алгоритм РунгеКутты численною решения дифференциальных уравнений с запаздыванием
2.2. Альтернативные численные методы решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием
2.2.1. Построение алгоритма численного решения линейной системы с запаздыванием, кратным шагу интегрирования, методом Эйлера с уравниванием
2.2.2. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией
2.2.3. Численное решение нелинейной системы дифференциальных уравнений со многими запаздываниями на основе метода шагов и метода РунгеКутты четвертого порядка точности
2.2.4. Построение приближенного аналитического решения системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздыванием
2.3. Моделирование рынка товаров. Исследование моделей
2.3.1. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа при произвольном запаздывании
2.3.2. Исследование модели рынка вальрасовского типа второго порядка
2.3.3. Исследование модели рынка вальрасовского типа третьего порядка
2.3.4. Исследование модели вальрасовского типа со многими товарами
3. Глава 3. Построение границ области устойчивости состояний равновесия моделей рынка вальрасовского типа
3.1. Существующие методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
3.2. Описание метода построения границы области устойчивости
3.3. Построение области устойчивости для модели рынка вальрасовского типа
4. Глава 4. Стабилизация рынка вальрасовского типа в состоянии равновесия
4.1. Модификация метода Минюка стабилизации состояния равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием
4.2. Квазиоптимальное управление
4.3. Исследование стабилизируемых моделей рынка
4.3.1. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка
4.3.2. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа третьего порядка
5. Глава 5. Идентификация динамических моделей вальрасовского типа
5.1. Алгоритм идентификации
5.2. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа с одним товаром
5.3. Оценка точности идентификации модели вальрасовского типа в зависимости от шага идентификации и от запаздывания
5.4. Идентификация модели вальрасовского типа с одним товаром
при наличии случайной составляющей в функции спроса
5.5. Частный случай идентификации модели вальрасовского типа
при известных равновесных ценах
5.6. Идентификация модели рынка вальрасовского типа со многими товарами
5.7. Идентификация модели вальрасовского типа со многими товарами при наличии случайных составляющих в функциях спроса
5.8. Идентификация модели вальрасовского типа для рынка компьютерных комплектующих
Заключение
Список использованных источников


Метод сводится к поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми. С помощью разработанного алгоритма исследована устойчивость рассматриваемых в работе моделей рынка. Результаты, полученные в третьей главе, опубликованы в работах 5
Четвертая глава работы посвящена исследованию динамической модели рынка вальрасовского типа, стабилизируемой в положении равновесия. Целью стабилизации является как можно более быстрое приведение рынка в состояние равновесия и увеличение области устойчивости положения равновесия рынка. В главе разработана модификация одного из методов стабилизации системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим на основе представления решения уравнения схемой Р. Веллмана и К. Кука. С помощью описанного метода построены траектории управляемых моделей рынка с запаздыванием поставок товаров в сравнении с неуправляемыми моделями. Показано, что при устойчивом положении равновесия рынка свободное движение рынка к равновесию происходит значительно медленнее, чем управляемое. Управление при достаточном ресурсе эффективно стабилизирует рынок в положении даже неустойчивого равновесия, возникающего при больших запаздываниях. Таким образом, стабилизация рынка, описываемого линейными моделями вальрасовского типа, в положении равновесия позволяет расширить область устойчивости равновесия рынка. Результаты, полученные в главе, опубликованы в работе 4. В пятой главе разработан новый метод идентификации параметров рынка коэффициентов модели и запаздываний на основе метода наименьших квадратов. Этот алгоритм используется для идентификации модели рынка вальрасовского типа с одним и несколькими товарами. В работе проводится оценка точности идентификации в зависимости от шага идентификации и от запаздывания. Показано, как с увеличением шага увеличивается ошибка оценивания параметров модели. Рассматривается идентификация модели рынка при наличии случайных составляющих в функциях спроса на товары. Показано, что чем больше дисперсия случайной составляющей спроса на товары, тем хуже идентифицируются параметры модели рынка и тем больше доверительная область для этих параметров. Отмечено, что параметры модели идентифицируются намного лучше при больших значениях запаздываний, когда положение равновесия рынка неустойчиво. Это можно объяснить тем, что увеличение запаздывания ведет к увеличению времени переходного процесса рынка. А идентификация возможна только на переходном процессе. Чем он длиннее, тем больше информации можно получить из наблюдений за ценой товара при идентификации параметров модели и, соответственно, тем лучше можно их оценить. Один из разделов пятой главы посвящен решению практической задачи идентификации параметров реального рынка одного из типов компьютерных комплектующих видеокарт. Модель вальрасовского типа хотя и не вполне адекватна реальным данным, не учитывает, возможно, какието важные особенности реального рынка, но, тем не менее, достаточно правильно отражает главную закономерность динамики рынка зависимость цены товара от соотношения спроса и предложения. Результаты пятой главы опубликованы в работе 8. В заключении подводятся итоги проделанной работы. ГЛАВА 1. Основополагающие классические работы, положившие начало математическому описанию рыночных процессов, связаны с именами Антуана Курно 1, Уильяма Стенли Джевонса 2, Леона Вальраса 3, Альфреда Маршалла 4, Вильфредо Парето, Карла Менгера 5. В г. Леон Вальрас 3, основатель лозаннской школы, опубликовал книгу Элементы чистой политической экономии. Вальрас создал общую экономикоматематическую модель народного хозяйства, известную под названием Система общего экономического равновесия. Иногда ее называют схемой воспроизводства. Модель Вальраса исходит из условий совершенной конкуренции. Задача этой модели вывести общие законы действия системы цен при наличии множества рынков. Хотя эта модель не имела практического применения, но она явилась мощным толчком для решения этой проблемы последующими экономистами. В. Парето проблему равновесия в модели Вальраса дополнил очень важным положением.