Разработка алгоритмического и программного обеспечения библиотеки программ для решения итерационными методами некоторых классов систем линейных алгебраических уравнений большой размерности

• Автор: Абдель Малик Джихан
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение..з
1. Математические обоснования применимости явных стационарных итерационных методов для решения некоторых классов СЛАУ большой размерности.

1.1. Постановка задачи и методы решения.

1.2. Прямые методы решения СЛАУ

1.3. Стационарные одношаговыс итерационные методы

1.3.1. Явныеметоды простой итерации.

1.3.2. Условие выхода из вычислительного процесса по заданной точности в методах

простой итерации

1.3.3. Метод явной оптимальной простой итерации

1.3.3.1 Случай комплексной неэрмитовой матрицы СЛАУ

2. Математические обоснования применимости неявных стационарных итерационных методов для решения некоторых типов специальных СЛАУ большой размерности
2.1. Неявные методы простой итерации
2.2 Модификация и оптимизация сходимости методов простой итерации
2.3. Спектр матрицы перехода и сходимость метода Ричардсона в случае трехдиагональной тепл и цевой матрицы СЛАУ
2.4. Спектр операторов перехода и сходимость методов Якоби, Зейдсля и релаксации в
случае трехдиагональной теплицевой матрицы СЛАУ
2.5. Метод оптимальной релаксации для согласованно упорядоченной положительно определенной матрицы СЛАУ
2.6. Случай вещественной симметричной положительно определенной матрицы СЛАУ.
Метод Зейделя и метод релаксации с формальным параметром
3. Описание структуры и подпрограмм библиотеки.
4. Численные исследования,.
4.1. Численные исследования скалярных двумерных задач рассеяния электромагнитных волн.
4.2 Численные исследования задач поглощения электромагнитных волн в биологических структурах и тканях.
4.3. Численные исследования векторных двумерных и трехмерных задач рассеяния электромагнитных волн.
4.4. Численные исследования двумерных краевых задач электростатики уравнения Пуассона с источниками
Основные результаты и выводы диссертационной работы
Литература


Заметим, что близость определителя к нулю и даже весьма малое его значение не свидетельствуют, вообще говоря, о плохой обусловленности системы. В качестве примера можно привести матрицу системы, у которой присутствует только главная диагональ с весьма малыми, но отличными от нуля-коэффициентами. Определитель такой матрицы может быть машинный нуль, в тоже время свойства такой матрицы близки к единичной, а ошибка в решении порядка ошибки в задании исходных данных. Для, так называемых, плохо обусловленных задач их решение принципиально нельзя получить совершенно точно. Для них малые изменения в исходных данных (коэффициентах матрицы и в векторе правой части), которые могут находиться в пределах точности их задания, приводят к несоразмерно большим изменениям в решении. В результате, в пределах точности задания исходных данных (например, в пределах ошибки округления из-за ограниченного формата числовых данных ЭВМ) может существовать множество различных решений, удовлетворяющих системе. В качестве примера плохо обусловленной системы можно привести СЛАУ с почти линейно зависимыми строками (столбцами) в матрице. Плохо обусловленным алгоритмом для решения. СЛАУ можно назвать метод Гаусса без выбора главного элемента. Существуют два основных класса методов для решения СЛАУ -прямые и итерационные. Прямые методы характеризуются тем, что при абсолютной точности вычислений (на гипотетической бесконечноразрядной ЭВМ) точное решение СЛАУ может быть получено с помощью конечного числа арифметических операций. Джнхан Абдель Малик. Диссертация на соиск. Москва г. Однако при реальных вычислениях на ЭВМ указанное различие теряет свой смысл, и для многих задач итерационные методы оказываются более предпочтительными, чем прямые в силу отсутствия накопления ошибок для сходящегося процесса и возможности приблизиться к решению с заданной точностью. Но главное преимущество итерационных методов, как было указано ранее, это квадратичная, а не кубическая, зависимость времени решения от размера матрицы системы. Рассмотрим сначала прямые методы. Наиболее известным является метод Гаусса, поскольку другие методы являются, как. Количество операций для решения системы ~л3. Матрица А либо неявно обращается, либо представляется в виде произведения матриц удобных для обращения. Перестановка столбцов и строк. Умножение столбцов и строк на число. Каждое элементарное преобразование можно- представить в виде матрицы ? А * х — Л/п. Джихан Абдель Малик. Диссертация на соиск. Москва г. Действие матрицы преобразуют элементы / -го столбца матрицы А ниже диагонали в нулевые (т. В каждом уравнении выделяется ведущий элемент, на который производится деление; пусть это будет ап. Джихан Абдель Малик. Диссертация на соиск. Москва г. Ь{2) = Ь® _ Л) . Элементы во втором столбце с / > 2 становятся равны 0. Преобразование к верхней треугольной матрице называется прямым ходом. П > *—1 _ ? Джихаи Лбдсль Малик. Диссертация на соиск. Москва г. С у < /. Эта строка (или столбец) переставляются на место /-ой строки (столбца). Такой выбор уменьшает ошибки округления. При ручных расчетах элементы матрицы записываются вместе с элементами вектора Ъ в расширенную матрицу, далее из соображений удобства выбирают ведущий элемент, а преобразование остальных элементов на одном шаге прямого хода метода Гаусса проводят по правилу прямоугольника. В' матрице выделяется прямоугольник, на главной диагонали которого расположены ведущий и преобразуемый элементы. Из преобразуемого элемента вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали, деленное на ведущий элемент. Несмотря на конечное число арифметических операций умножения в процессах (1. СЛАУ мето-дом Гаусса, которое приблизительно'равно ~ 1/3*Ы , и, несмотря на принятые меры для улучшения обусловленности алгоритма с помощью выбора на каждом шаге главного элемента, для большой СЛАУ погрешность решения методом Гаусса может оказаться невысока. Это может случиться благодаря даже одному единственному неудачному вычитанию (1. Джихан Абдель Малик. Диссертация на соиск. Москпа г.