О некоторых экстремальных задачах математического моделирования в пространствах BV

• Автор: Ищенко, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 147 с.

Содержание
Введение

I Энергетический подход к моделированию

нерегулярного континуума

1 Предварительные сведения. Полнота пространства Е

2 Физический пример задачи на экстремум

3 Непрерывность интегрального функционала в Е

4 Аналог уравнения Эйлера для непрерывных задач

II Достаточное условие экстремума

1 Неотрицательность псевдоэнергетического функционала

2 Аналог усиленной теоремы Якоби

3 Поле экстремалей
4 Достаточное условие экстремума
III Постановка задачи в классе разрывных
функций из ВУ. Необходимое условие экстремума
1 Некоторые сведения о тс интеграле
2 Полнота пространства Еи
3 Задача о разрывной струне
4 Непрерывность функционала в Еи
5 Необходимое условие экстремума для задачи, допускающей разрывные решения
IV Достаточное условие экстремума для случая разрывных функций
1 Неотрицательность псевдоэнер етического функционала в разрывном случае
2 Аналог усиленной теоремы Якоби в разрывном случае
3 Поле экстремалей
4 Достаточное условие экстремума
V Численный эксперимент
1 Приближенный метод решения вариационной задачи деформации цепочки из двух струн
2 Тестовые примеры
Список литературы


Цель работы. Работа направлена на построение наиболее полных аналогов необходимых и достаточных условий экстремума из классической вариационной теории, максимально учитывающих способность возникающих при этом моделей соответствовать реальным особенностям моделируемых задач. Методика исследований. В диссертационной работе в интересах математического моделирования применяются и совершенствуются идеи и методы классического вариационного исчисления, методы общего математического анализа, аппарат теории меры и интеграла Лебега-Стилтьеса, аппарат численных методов. Научная новизна. Приводимые ниже основные научные результаты диссертации являются новыми. Vq (и'), где Vq означает полную вариацию на отрезке [0, /]. Доказана непрерывность функционала (0. Установлено, что функция г/0, определяющая реальное состояние объекта, описываемого модельной проблемой (0. Ж - - М(х) = ри'(0) - М(0). Получен аналог усиленной теоремы Якоби о сильной положительности псевдоэнергетического функционала. Установлена возможность построения ноля экстремалей. Получено достаточное условие экстремума для функционала (0. Аналогичные результаты получены для функционала (0. Впервые построен алгоритм и проведен численный эксперимент анализа модельной'проблемы (0. Ф определяется равенством (0. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический. Полученные результаты могут быть использованы при обосновании корректности разнообразных математических моделей и при разработке разнообразных численно-аналитических методов, создаваемых для-анализа таких моделей. Апробация работы. Основные результаты из всех разделов диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и совещаниях: Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории-функций и их приложения» ( г. Международной конференции но дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, г. Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, г. Воронежских весенних математических школах «Понтрягинекие чтения-ХУ» ( г. Пон-трягинские чтения-ХУ1» ( г. Понтрягинские чтсния-ХУН» ( г. Понтрягинские чтения-ХУШ» ( г. Современные методы теории функций и смежные проблемы» ( г. Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, г. Покорного Ю. В. в - гг, на конференциях профессорско-преподавательского состава Белгородского университета потребительской кооперации в - гг. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [, , , , , , , , , ]. Из совместных работ [-, ] в диссертацию включены только результаты автора. Списку ВАК соответствуют работы [, , ,]. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, изложенных на 0 страницах машинописного текста, списка цитируемой литературы из наименований на 7 станицах. Общий объем диссертации составляет 7 страниц. Краткое содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, дается обзор результатов по главам. В первой главе ставится и изучается модельная проблема (0. Ф(и)- J-U dx + ^Ruu'dx+ J—dS+ ^udM. В § 1 вводится линейное нормированное пространство Е абсолютнонепрерывных функций с производными из BV, /], на котором рассматривается функционал (0. Теорема 1. Vq означает полную вариацию на отрезке [0, /]. Теорема 1. Н = К°>1+К («)+“'(°)|+К («'). Ы1 =max< шах Ы, К0;(м') >. I [о. В § 2 приводится физический пример, описываемый модельной проблемой (0. В § 3 доказывается, что функционал (0. В § 4 установлена форма первой вариации для функционала (0. Ф(и0)И = jpu0h'cbc+ ^R{u0h' + hu'0)dx + Ju0hdS + ^hdM. Точка экстремума исходной задачи должна обращать в нуль первую вариацию, что на основе специальной модификации классической леммы Дюбуа-Реймона приводит к следующему необходимому условию, которому должна удовлетворять минимизирующая (максимизирующая) функция и0(х). R - udS - М{:с) = ри) - М(0). Уравнение (0. S’, r = R т = М'.