Некоторые вопросы нелинейного моделирования в пространстве функций ветвящегося аргумента

• Автор: Рябцева, Наталья Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Постановка вариационной задачи для функций, определенных на геометрическом графе

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Производная Фреше. Общие условия минимума

1.3 Первая вариация

1.4 Вторая вариация

2 Необходимые условия экстремума

2.1 Вариационная схема Лагранжа и необходимые условия экстремума первого порядка.

2.2 Условие Лежандра.

3 Достаточные условия экстремума

3.1 Аналог теоремы Якоби
3.2 О детерминантном представлении решения однородного уравнения с неоднородными краевыми условиями
3.3 Аналог усиленной теоремы Якоби.
3.4 Аналог леммы Пуанкаре
3.5 Достаточные условия экстремума
3.6 Поле экстремалей .
Дополнение
Список литературы


Обстоятельный анализ естественных вопросов, смежных с подобными задачами (о структуре функциональных пространств, естественных топологиях в них, о вариационных постановках в таких пространствах, об условиях экстремума и др. В настоящей работе обсуждается'цикл вопросов, связанных с вариационными постановками в пространствах функций ветвящегося аргумента. Такие постановки как раз и приводят к математическим моделям, имеющим форму задачи на экстремум для функционалов Ф(гь), Фі(г/). Основные трудности, связанные с анализом функций ветвящегося аргумента в такого рода математических моделях, порождаются локальными особенностями в окрестности узлов соответствующего графа. При рассмотрении дифференциальных уравнений на геометрических графах, решения таких уравнений должны быть "сшиты" в узлах специальными условиями трансмиссии, дополняющими обыкновенные дифференциальные уравнения на ребрах. Г - геометрический граф, состоящий из набора "сшитых" в вершинах отрез ко в-ребер, то при толковании такого интеграла, как суммы интегралов по ребрам, ни о каких условиях "сшивания" рассматриваемых функций в узлах Г нет и речи - кроме предположения о непрерывности рассматриваемых функций и о наличии производных и'(х) внутри каждого ребра. Ф(и0)Іі= / (#и(ж,гі0(ж),^(ж))/і(а;) + Еи? Последняя процедура (интегрирование по частям) тривиальна для случая, если Г является отрезком (и в предположении дополнительной гладкости . Ри/), а в случае графа - порождает ряд внеинтегральных слагаемых, определяемых как бы вновь возникшими атомами меры во внутренних узлах графа. Стильтьссу, т. Присутствие таких неприятностей во внутренних узлах осложняет описание условий, подобных уравнению Эйлера, уравнению Якоби и прочих необходимых и достаточных условий стандартных экстремальных задач, а также осложняет отыскание и доказательство достаточных условий знакоопределенности квадратичных функционалов. Преодоление подобных трудностей и составило основное содержание диссертации. Попутно мы обсуждаем естественные вопросы об описании для ветвящегося аргумента функциональных пространств, аналогичных С1, строим естественные аналоги нормировок таких пространств, обсуждаем вопросы о полноте этих пространств, о непрерывности исходных функционалов в этих пространствах. Один из главных вопросов по ходу дела - вопрос о существовании точки минимума исследуемых функционалов. Подобные вопросы для фукции ветвящегося аргумента ранее другими авторами не обсуждались. Перейдем к краткому описанию основных результатов диссертации. Первая глава посвящена описанию предварительных понятий, которые необходимы для четкой математической постановки изучаемой задачи. Приведено подробное описание объектов исследования. В пункте 1. В! который всюду далее обозначаем через Г. Предполагается, что множество ребер Г конечно, и они как-то занумерованы: ,, . Объединение всех ребер Г обозначается через Я(Г). Множество всех внутренних вершин Г обозначается через Я таких, что для любого ребра 7 сужение гг7 равномерно непрерывно на 7. Через С [Г] обозначаем множество функций, равномерно непрерывных на Г (такие функции будем также называть непрерывными на [Г]). С[Я{Г)). С[Я(Г)]. Бели 7 - ребро. Я таких, что производная у' равномерно непрерывна на 7, будем обозначать через С1 [7]. Ь*—а,-1|~1(6»—(ц). Иногда вместо / и(х)(1х будем писать f u(x)dx. Ф(и) = J Г(х,и(х)>и'(х)№х, (0. С(а, ц(а)). Г . Далее С1 [Г] рассматриваем как нормированное пространство. СЧГ) = У'ьир(тах{|«(ж)|,1и'(х)|}).