Методы аппроксимации границы Парето в нелинейных задачах многокритериальной оптимизации

• Автор: Березкин, Вадим Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 185 с. : ил.

Оглавление
Оглавление.
Введение .

Глава 1. Некоторые проблемы предпроектной стадии проектирования технических систем

1.1. Предпроектная стадия процесса проектирования

1.2. Пример проблемы, возникающей на предпроектной стадии

1.2.1 Краткое описание модели процесса охлаждения стальной полосы.

1.2.2. Функции потерь

1.2.3 Проектные решения. Параметры процесса охлаждения.

1.3. Аппроксимация оболочки ЭджвортаПарето в нелинейном методе достижимых целей.

Глава 2. Изучение методов аппроксимации оболочки ЭджвортаПарето

2.1. Полнота аппроксимации.
2.1.1. Основные обозначения
2.1.2. Полнота аппроксимации.
2.2. Упрощенный однофазный алгоритм А1.
2.3. Свойства алгоритма А1.
2.3.1. Конечность А1.
2.3.2. Сходимость Л1.
2.3.3. Скорость сходимости А1
2.3.4. Эффективность Л1
2.4. Упрощенный двухфазный алгоритм А2.
2.5. Полнота аппроксимации для Л2
2.6. Свойства алгоритма А2.
2.6.1. Конечность Л2.
2.6.2. Сходимость А2.
2.6.3. Скорость сходимости А2
2.6.4. Эффективность А2
2.7. Алгоритм А2 в случае УФРУ
2.7.1. Скорость сходимости.
2.7.2. Эффективность.
2.8. Упрощенный трехфазный алгоритм АЗ.
2.9. Полное описание методов аппроксимации.
2.9.1. Однофазный алгоритм.
2.9.2. Двухфазные алгоритмы
2.9.3. Трехфазные алгоритмы
2.9.4. Генетический метод оштукатуривания
Глава 3. Программное обеспечение метода достижимых целей для нелинейных моделей.
3.1. Реализация однофазного метода в x
3.2. Реализация однофазных, двух и трехфазных методов на языке
3.3. Программный комплекс Метод достижимых целей.
Глава 4. Эксперименты с модельными задачами.
4.1. Методика проведения экспериментов.
4.1.1. Сравнение методов по результатам аппроксимации
4.1.2. Попарное сравнение аппроксимаций ОЭП
4.2. Исследование методов на основе использования функции Шекеля
4.2.1. Исследования методов на двухкритериальных задачах
4.2.2. Исследования трех и пятикритериальных задач.
4.2.3. Сравнение однофазного и трехфазного методов
4.3. Исследования многоэкстрсмальной задачи.
4.4. Исследование на функции с многочисленными локальными экстремумами
4.4.1. Модель с параметром а 1.
4.4.2. Модель с параметром 7
4.5. Заключение.
Глава 5. Использование метода достижимых целей для анализа проблемы выбора параметров оборудования.
5.1. Построение аппроксимации однофазным методом
5.2. Построение аппроксимации двухфазными и трехфазными методами.
5.2.1. Построение предварительной аппроксимации.
5.2.2. Анализ влияния параметра на процесс аппроксимации двухфазным методом.
5.2.3. Сравнение процесса аппроксимации парстовой границы с использованием двух и трехфазного методов.
5.2.4. Изучение комбинаций двухфазных и трехфазных методов
5.3. Применение генетического метода
Заключение.
Литература


Далее приводится пример многокритериальной задачи, которая должна быть решена в процессе проектирования: дается представление о задаче охлаждения стали в процессе разработки и оптимизации установки для ее непрерывной разливки. Эта задача может быть решена на основе использования нелинейной математической модели охлаждения стали, которая была построена ранее в []. Ее многокритериальная формулировка была дана в [], где с помощью сведения к однокритериальной задаче была найдена единственная критериальная точка, близкая, по мнению авторов, к паретовой границе. В гл. В гл. Эджвотра-Парето в процессе проектирования. Далее в первой главе дается качественное описание стохастических адаптивных методов аппроксимации ОЭП, включающих в себя однофазный, двухфазные, трехфазные и генетический методы аппроксимации. Сочетание различных подходов к решению задач оптимизации в форме так называемых многофазных методов интенсивно применяется в случае однокритериальных задач []. В данной работе многофазные методы разрабатываются для задач многокритериальной оптимизации. Далее, осуществляется интеграция построенных многофазных методов с многокритериальным генетическим методом «оштукатуривания», в результате чего формируются гибридные методы аппроксимации ОЭП. Начало описания методов посвящено способам оценки качества аппроксимации ОЭП и правилам остановки алгоритмов, предлагаемым в работе. Отсутствие информации о постоянной Липшица приводит к тому, что эту задачу невозможно решить достоверно и приходится прибегать к статистическим оценкам. Следует подчеркнуть, что статистические оценки предлагаемого типа до последнего времени практически отсутствовали (см. Единственный известный подход был предложен в []), однако он применим только в двухмерном случае. В данной работе предлагается набор показателей качества аппроксимации, которые хотя и не решают задачу полностью, дают возможность оценить динамику процесса аппроксимации и являются удобными правилами остановки алгоритмов. X, будет принадлежать построенной аппроксимации ОЭП. Как уже говорилось, эти оценки развивают идею, предложенную в работе []. Эмпирический расчет полноты строится на генерировании случайной выборки точек в I и построении доверительного интервала для искомой величины. Введя метрику в пространстве Ц"', можно определить функцию полноты аппроксимации, равную вероятности того, что образ точки, случайно взятой в X, будет принадлежать заданной е-окрестности (? ОЭП. Эта функция характеризует качество аппроксимации более полно, чем исходная величина полноты. Экспериментально определяется выборочная функция полноты аппроксимации, причем для каждого отдельного е верна упомянутая выше оценка доверительного интервала. Отметим, что выборочная функция полноты является монотонно неубывающей функцией е и может быть легко рассчитана. Она показывает для всех ? ОЭП с помощью генерирования случайных точек. Поэтому рассмотрение графика выборочной функции полноты дает информацию пользователю о том, не следует ли завершить работу алгоритма аппроксимации. Остановку процесса аппроксимации можно и автоматизировать, заменив человеко-машинный анализ графика выборочной функции полноты проверкой значения некоторой ее характеристики. На практике наиболее удобной характеристикой оказался радиус полного покрытия - минимальная величина ? X принадлежат этой ^-окрестности аппроксимации). Достаточно малое значение радиуса полного покрытия (наряду с выполнением ограничений на другие показатели, определяемые выборочной функцией полноты, скажем, на полноту при некотором конкретном с > 0), может служить правилом остановки процесса аппроксимации. В однофазном методе па каждой итерации осуществляется улучшение качества полученной ранее аппроксимации 1"* на основе генерирования выборки из N случайных равномерно распределенных точек множества допустимых решений X. Для точек выборки рассчитываются соответствующие критериальные точки, а затем рассчитывается доверительный интервал и строится график выборочной функции полноты аппроксимации. Нели, например, радиус полного покрытия меньше заданного, то требуемая точность считается достигнутой и процесс прекращается.