Метод взвешенного усреднения в задачах математического моделирования квазипериодических, переходных и квазистационарных процессов в нелинейных системах

• Автор: Селезнева, Ирина Алексеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 163 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Проблема моделирования нелинейных процессов

1.1 Аналитический обзор и постановка задачи

1.2 Метод взвешенного усреднения

1.3 Оптимизация ядра интегрального уравнения в методе ВУ Глава 2. Моделирование квазипериод и ческих процессов методом ВУ

2.1 Оценка априорной погрешности модельных расчетов

2.2 Оценка погрешности эталонного численного решения

2.3 Решение эталонной задачи методом ВУ

2.4 Алгоритм и результаты тестовых расчетов

2.5 Приложение метода ВУ к решению конкретных задач

2.6 Быстрый алгоритм вычисления специальных функций
Глава 3. Моделирование переходных процессов методом ВУ
3.1 Модель нелинейного переходного процесса
3.2 Модель равновесной функции распределения
3.3 Оценка методической погрешности
Глава 4. Моделирование стационарных процессов методом ВУ
4.1 Модель стационарного вихревого течения
4.2 Проблема сингулярности уравнений модели
4.3 Задача идентификации модели нелинейного процесса
Заключение
Список литературы


Для построения уравнений, описывающих нелинейные процессы в природных системах и технических устройствах, необходимо выделить набор параметров, определяющих состояние моделируемой системы, и задать вид зависимости эволюции системы в пространстве и времени от ее состояния и внешних воздействий. В настоящей работе мы полагаем, что вид уравнений, описывающих исследуемые процессы, известен из литературы пли установлен в результате решения конкретной естественнонаучной задачи. В этом случае под «математическим моделированием процесса» мы подразумеваем процедуру нахождения численного или аналитического решения уравнений исследуемой модели и анализ его свойств. Проблеме численного решения нелинейных уравнений математической физики посвящено множество работ (см. Анализ математической модели изучаемого явления численными методами позволяет с высокой степенью точности проследить динамику моделируемого процесса. В этом состоит несомненное достоинство численных методов математического моделирования. Одиако при численном анализе моделей сложных явлений сквозь частокол цифр и графиков часто бывает трудно отследить относительную роль отдельных факторов, определяющих картину процесса. Наиболее ярко проявляется эта негативная особенность численных методов при моделировании природных процессов и явлений. Дело в том, что для уравнений, описывающих атмосферные, гидросферные и т. Природе, строго говоря, неизвестен. Бифуркационный анализ, и, вообще, поиск особых точек уравнений анализируемых моделей, серьезно осложняется тем, что результаты численного решения всегда представляются в виде таблиц или графиков. Все перечисленное существенно ограничивает возможности эвристическою анализа особенностей изучаемых процессов с помощью численных методов. Множество фундаментальных результатов в области математического моделирования нелинейных процессов было получено аналитическими методами [4]. Эти результаты удается представить в наиболее элегантной форме тогда, когда найдено точное аналитическое решение задачи. Значительная часть настоящей диссертации посвящена приближенным и точным аналитическим методам математического моделирования. В связи с этим уточним терминологию и позиционируем используемые нами методы в системе альтернативных подходов, методов и приемов анализа. Под точными методами решения уравнений математических моделей нелинейных процессов мы будем понимать методы, позволяющие получать точные решения [4]. Наиболее распространенные и обладающие достаточной степенью общности точные методы решения уравнений математических моделей нелинейных процессов перечислены в Таблице 1 [4]'. Классический метод поиска симметрии (метод группового анализа) Основан на поиске преобразований, которые оставляют1 инвариантным вид уравнений. Позволяет получать инвариантные решения. Нсклассический метод поиска симметрии Модификация метода группового анализа (более сложная для практического применения). Позволяег описать более широкий класс решении. Прямой метод Кларксона -Кру скал а Задается общая структура решения, в которое входят произвольные функции. Эти функции неравноправны, для их определения используют специальные приемы. Метод дифференциальных связей Основан на совместном исследовании данных уравнений и вспомогательных уравнений, называемых дифференциальными связями. Метод обобщенного разделения переменных Задастся общий вид решения, характерный для линейных уравнений. Для определения искомых функций используют разные методы. Метод функционального разделения переменных Задастся общий вид решения с функциональным произволом. Для определения искомых функций используют методы дифференцирования и расщепления. Могол обратной задачи Рассеяния Основан на специальном представлении уравнения (с помощью пары линейных операторов) или на условии совместности двух линейных уравнений. Гест Пенлеве для нелинейных уравнений математической физики Основан на поиске решений в виде разложений, имеющих особенность типа подвижного полюса. Положение полюса задается произвольной функцией. В таблице I не приведены редко встречающиеся частные методы (метод Монжа, метод Хироты и т.