Метод вариационных сплайнов для сингулярных дифференциальных уравнений

• Автор: Мартыненко, Юлия Вячеславовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Сингулярные дифференциальные уравнения и методы их решения

1.1 Уравнения в нормальной форме и методы их решения

1.1.1 Разностные методы.

1.1.2 Проекционные методы. .

1.1.3 Метод сплайн кол локации.

1.1.4 Жесткие задачи .

1.2 Неявные и диффереициалыюалгсбраические уравнения . .

1.2.1 Особенности ИОДУ

1.2.2 Основные методы решения ИОДУ

1.3 Метод параметризации
2 Метод вариационных сплайнов
2.1 Общая схема метода
2.2 Вариационный сплайн.
2.3 Сходимость
2.4 Основная вычислительная схема.
2.5 Вычисление пошаговой частичной невязки и ее производных
2.6 Производные по параметрам для линейного уравнения .
2.7 Метод вариационных сплайнов для уравнения, разрешенного
относительно производной
2.7.1 Сходимость
2.7.2 Устойчивость
3 Алгоритмические вопросы метода ВС
3.1 Алгоритмы построения вариационного сплайна
3.2 Оценка сложности метода ВС.
3.3 Сравнение метода ВС и метода параметризации
4 Вычислительный эксперимент
4.1 Жесткие задачи
4.2 Линейные дифференциальноалгебраические уравнения .
4.3 Нелинейные ДАУ.
А Описание комплекса программ
Литература


Во многих случаях система (1) может быть преобразована к нормальной форме Коши (2) с помощью конечного числа дифференцирований но независимой переменной и алгебраических преобразований. Минимальное число таких дифференцирований называется индексом дифференцирования []. В приложениях встречаются системы индекса 5 и выше ||. Волее того, известны задачи, которые нельзя привести к нормальной формс(т. Шрёдингера с вырожденным кусочно-непрерывным потенциалом [). Легко видеть, что оно имеет переменное вырождение и не может быть приведено к нормальной форме посредством дифференцирований по независимой переменной. Другие примеры приведены В П. Э.Хайрера и Г. Ваннера [], Р. Kunkel и V. Mehrmann [], в докторских диссертациях М. В.Булатова [8], ГЛО. Куликова [], В. Увеличившееся в последнее время количество работ [2, 7, 9|, посвященных данной проблеме, говорит об ее актуальности. Кроме того, остается актуальным совершенствование методов численною решения "жестких" задач для уравнений в нормальной форме (2). Первые результаты, полученные при изучении ИОДУ, относятся к линейным уравнениям (4) с постоянными коэффициентами. В работе H. H. Лузина [1 г. А, и приведено общее правило нахождения решения этой системы Большое влияние на развитие теории и методов решения линейных сингулярных систем (4) оказало применение Ф. Р. Гантмахером теории пучков матриц []. Систематическое изучение (1) и построение численных методов их решения началось в -х гг. Большой вклад в исследование линейных систем (4) внесли работы Ю. Е. Бояринцева и его учеников [4, 5, 6. Ими рассматривались взаимосвязи кропекеровой структуры пучка матриц A(t) +B(t) со структурой общего решения и свойствами численных методов. В работах М. В. Булатова и В. Ф. Чистякова [8, 9| предлагается понижать индекс исходной системы (4) с помощью "левого рогуляризирующего оператора", определенного через полуобратные матрицы. Таким образом, для систем (4) развиты общие методы определения и понижения индекса, основанные на сложной алгебраической технике, итерационном построении нолуобрат-ных матриц и ранговых критериях, которые трудно проверять в условиях приближенных данных. Для сингулярных задач с переменным вырождением главной части A(t), несводимых к нормальной форме (2). ИОДУ (1) и методам их решения. В частности, в (| определяется понятие индекса дифференцирования, а в работе [] представлен специальный вариант метода наименьших квадратов для неструктурированной системы высокого индекса, основанный на разрешении «массива производных» относительно всех производных решения. Этот метод требует выполнения определенных ранговых условий, проверка которых является достаточно сложной задачей. Для сингулярных уравнений с невысоким индексом дифференцирования (до 3) существуют эффективные специализированные методы (, ]. Некоторые из них реализованы в известной системе тестов []. Отметим также метод продолжения решения по параметру |), в котором требуется дифференцирование по независимой переменной. Однако дифференцирование исходного уравнения в общем случае приводит к уравнению с более широким множеством решений, п такое расширение может привести к постороннему решению (см. II. Ввиду возможной сложности нахождения индекса, дифференцирования и различных способов его уменьшения, очевидна ограниченность перечисленных выше подходов. Операция дифференцирования функций, определяющих реальную модель и заданных приближенно, является некорректной [3, ]. Она может существенно увеличить ошибку задания функций. Некорректна также задача вычисления полуобратных матриц [6]. Соответственно, нормализация сингулярных МОДУ высокого индекса является плохо обусловленной вычислительной задачей, п мера ее обусловленности растет с ростом индекса системы, а порядок аппроксимации решения нормализованной задачи снижается. Кроме того, указанные методы нельзя применять к уравнениям с переменным вырождением матрицы Якоби (3), как у приведенного выше элементарного примера. Такие уравнения но сводятся к нормальной форме, а значит, но имеют конечного индекса.