Итерационные методы решения задач установившейся анизотропной фильтрации с многозначным законом

• Автор: Исмагилов, Ирек Наилевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 120 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

1.1 Постановка нелинейных стационарных задач

анизотропной фильтрации.

1.2 Существование решения задачи

2 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ИТЕРАТИВНОЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИЗОТРОПНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
2.1 Метод итеративной регуляризации для решения вариационных неравенств второго рода в банаховом пространстве .

2.2 Метод итеративной регуляризации для решения вариацион

ных неравенств второго рода в случае гильбертова пространства

2.3 Дополнительные свойства операторов

2.4 Применение метода итеративной регуляризации для реше
ния нелинейных стационарных задач анизотропной фильтрации
3 ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ РЕ
ШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ АНИ
ЗОТРОПЫОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
3.1 Построение метода расщепления для решения вариационных неравенств второго рода в гильбертовом пространстве. .
3.2 Исследование сходимости итерационного метода расщепления
3.3 Применение метода расщепления для решения нелинейных стационарных задач анизотропной
фильтрации.
4 КОНЕЧНОМЕРНОМЕРНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
4.1 Конечноэлементные аппроксимации для задач анизотропной фильтрации .
4.2 Результаты численных экспериментов.
ЛИТЕРАТУРА


В работах [8], [], [], [], [], [] проводилось построение и исследование конечномерных аппроксимаций (конечно-разностных и конечноэлементных) для рассматриваемых задач. В работах [] изучались вопросы регуляризации разрывного закона близким непрерывным. Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. В случае банаховых пространств отмстим здесь работы [9] - [], [], |], |]. Для задач фильтрации с разрывным законом итерационные методы рассматривались в работах 2], 7], [], [], [], |]. Эти методы предполагали предварительную регуляризацию - замену разрывного закона фильтрации близким однозначным. В работах [3] рассмотрены итерационные методы, которые позволяют решать стационарные задачи фильтрации жидкости в изотропной пористой среде с многозначным законом фильтрации. Отметим, что для ряда специальных областей и законов фильтрации в работах [3], [], [] - [], [], [], [0], [9], [7] были построены точные характеристики решения (границы областей, где модуль градиента давления равен предельному градиенту) методами теории струй []. Эти характеристики оказываются весьма полезными при оценке эффективности приближенных методов для задач с произвольными областями и законами фильтрации. Таким образом, анализ литературы, позволяет сделать вывод о том, что, во-первых, в основном используются линейные модели, а во-вторых, рассматривается случай изотропной среды. Случаи нелинейной фильтрации в анизотропных средах рассматриваются в областях специального вида и при специальных видах законов фильтрации. В то же время, многие практические задачи требу ют использования нелинейных законов фильтрации (с предельным градиентом, многозначные законы, нелинейный рост на бесконечности функций, определяющих законы) и рассмотрения анизотропности пористых сред, в которых происходит фильтрация. Поэтому исследование математических моделей, учитывающих нелинейный и анизотропный характер зависимости скорости фильтрации от градиента давления, построение эффективных методов численной реализации таких моделей является актуальной задачей. В настоящей диссертации проведены построение и исследования корректности математических моделей процессов установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом, в произвольной ограниченной области. Также проведено построение и исследование приближенных мегодов решения вариационных неравенств второго рода с операторами монотонного тина и недифференцируемыми выпуклыми функционалами на выпуклых замкнутых множествах в банаховых и гильбертовых пространствах, возникающих при описании рассматриваемых задач. Диссертация состоит из введения и четырех глав. В первой главе рассматриваются постановки стационарных задач фильтрации, которые математически формулируются в виде вариационного неравенства второго рода. Приведена постановка задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом. В § 1 дается постановка стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному многозначному анизотропному закону фильтрации с предельным градиентом. Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости. Фильтрация происходит в ограниченной области il с Rn т > 2 с непрерывной по Липшицу границей Г = Fi U Г2, (Г1 П Г2 = 0, mes Г2 > О, - непроницаема, на Г2 считаем давление равным нулю). Иуг>(х) = /(х), х € П, (0. Г1, где п — внешняя нормаль к Гь (0. Г2, (0. ПРИ ? А > 0 — предельные градиенты), (0. К-/9<)р-1<®»(€а)€<с«€р-1, ? А, с1? С2< > о, (0. Ло(? С - 0ю(С2) С > 0 при С > С, (0. С2) ? А Л« - А), М? Легко видеть, что /ъ(? С)-МО>Г(С-С) е Л1, УГ е КО. Е“«6й. В силу условий 0. Ят. Т;Уи, Уту) < Д(м) А (г/), д? Уи|2, се,- > О, г = 1,. Рассмотрим вариационную формулировку задачи (0. Пусть и и V — решение этой задачи. Обозначим через <7^(Г2) множество бесконечно дифференцируемых в ?