Исследование оптимальных планов эксперимента для нелинейных по параметрам регрессионных моделей

• Автор: Старосельский, Юрий Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 109 с. : ил.

Одной из важнейших методологий исследования объектов и систем различной природы является построение п анализ регрессионных моделей на основе экспериментальных данных. При этом организация эксперимента, играет существенную роль для повышения точности результатов при ограниченных ресурсах. Оптимальная организация эксперимента изучается теорией планирования регрессионных экспериментов, которая интенсивно развивается с середины х годов го века. Эта теория была инициирована работами Дж. Элвинга, Г. Чернова, Дж. Кифера и Дж. Вольфовица, а в се развитие значительный вклад внесли российские ученые В. В.Налимов, Г. К.Круг, В. В.Федоров, С. М. Ермаков, М. Б.Малютов, В. П.Козлов, Е. В.Седунов п многие другие. В рамках этой теории весьма полно изучены линейные по параметрам регрессионные модели. Однако во многих экспериментальных исследованиях существенную роль играют нелинейные по параметрам модели. Трудность исследования этих моделей заключается в зависимости асимптотической ковариационной матрицы оценок от истинных значений параметров.


Возникающие в этих подходах задачи построения оптимальных планов являются весьма сложными экстремальными задачами. До недавнего времени аналитическое решение таких задач оказывалось возможным лишь для простейших моделей с одним или двумя параметрами. В работах В. Б.Меласа , б был предложен подход, который открывает перспективы значительно более полного исследования таких задач. Этот подход назван функциональным подходом. Его основная идея состоит в исследовании опорных точек оптимальных планов как неявно заданных функций вспомогательных величин. В работах В. Б.Меласа и А. Н.Пепелышева см. Настоящая работа посвящена развитию функционального подхода для байесовских планов и сравнительному исследованию всех основных типов планов локально оптимальных, максиминно эффективных, байесовских и планов в равноотстоящих точках. Диссертация посвящена построению и исследованию оптимальных плат нов эксперимента для нелинейных но параметрам регрессионных моделей. Ф некоторая заданная функция критерий оптимальности, М информационная матрица плана . В общем случае решение задачи 1 зависит от 0 которое априорно не известно. Чтобы преодолеть это противоречие существует несколько подходов локальнооптимальный, байесовский и максимииный. План называется локальнооптимальным относительно вектора параметров 0 если он является решением задачи ФА,0 см. Г2 некоторый компакт в Е7П, априорно задано распределение Р С локальнооптимальный план. Во введении приведен обзор современного состояния предметной области, сформулированы цели исследования и кратко изложены результаты. В первой главе дается краткий обзор основных понятий и методов теории оптимального планирования регрессионных экспериментов, описываются модели, рассмотренные в диссертации, проводится обзор литературы. В первом параграфе этой главы формулируются базовые определения и описываются основные методы построения оптимальных планов. Во втором параграфе формулируются теоремы эквивалентности для байесовских и максимииных планов, которые являются основным аппаратом проверки оптимальности планов. Байесовский
а з, 2 о. На практике такая модель используется, в частности, для описания скорости протекания реакции 0 максимальная скорость протекания реакции, х концентрация вещества. Модель кинетики второго порядка. Ф, вор гг 6 М, , 0. Тх, 0 Х е4С, х 0, оо, 0А 0. Модель экспоненциального роста. Гх, 0 3, X 0, оо, 0. Вторая глава посвящена описанию методологии функционального подхода и его обоснованию для критерия. В первом параграфе даются основные определения и предположения метода. Во втором параграфе описывается функциональный подход. Основной идеей является изучение вектора опорных точек и весов т оптимального плана г как неявной функции некоторого вспомогательною параметра г, которая задается уравнением т, г 0, где дт, вектор функция состоящая из чаегных производных рт, г, рт, хкритерий оптимальности. Это уравнение называется основным уравнением. Ф0 Ф Ф П 1,2,. Теорема 1 Пусть II открытое множество Мт , г 6 Я, г 6 х, х, Х г2 произвольные вещественные числа, а т, х вещественная аналитическая функция па множестве Я х Х, Х2. То и дтх,х 0. Эта функция является вещественной аналитической в окрестности хо. Гп1 У1дтп, х, п 0,1,. V Кто,2о. Первая часть этой теоремы есть известная в функциональном анализе теорема о неявном отображении, вторая часть доказана в работе . Формулы 4 называются основными рекуррентными формулами, они лежат в основе вычисления коэффициентов разложения опорных точек и весов оптимальных планов в ряд Тейлора. Методология построения оптимальных планов включает в себя выбор класса планов, в котором ищется оптимальный план, выбор семейства априорных вероятностных мер и применение теоремы 1. Обоснование использования этой теоремы проводится для наиболее важных и критериев оптимальности. Первым рассмотрен критерий, который требует максимизации величины М , 0. I граничная точка х Такие планы называются насыщенными планами. Они представляют интерес, поскольку для многих моделей локально оптимальные планы имеют такой вид см. Одна из трудностей байесовского подхода состоит в выборе априорной меры. Т .