Изучение, математическое моделирование и компьютерная визуализация гиперболических объектов

• Автор: Князева, Марина Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Оглавление
Введение.
1 Виртуальные многогранники и ежи. Седловые поверхности и гипотеза А.Д. Александрова.

1.1 Виртуальные многогранники основные определения

1.2 Седловые поверхности.

1.3 Гиперболические виртуальные многогранники.

1.4 Ежи хериссоны, i основные понятия

1.5 Гипотеза А.Д. Александрова и контрпримеры к ней

1.6 Компьютерные средства трехмерного моделирования

2 Утягивание рога на бесконечность.

2.1 Основная теорема.

3 Гиперболические виртуальные многогранники с 6 и 8 рогами.
3.1 Гиперболический многогранник с 8 рогами.
3.2 Гиперболический виртуальный многогранник с 6 рогами.
3.3 Практическое построение гиперболических виртуальных многогранников
с 6 и 8 рогами.
4 Новый гиперболический виртуальный многогранник с 4 рогами.
4.1 Способы построения нового объекта их достоинства и недостатки.
4.2 Гиперболический многогранник Дг2.
4.3 Перестройка и сглаживание многогранника АгП
4.4 Неизотопность ежа и ежа И . МартинезМора
Заключение
Приложение.
Координаты вершин гиперболических многогранников
Исходные файлы Мар1е
Литература


Минковскому к ежу Я шар большого радиуса (необходимо добиться выпуклости суммы) и получаем контрпример гипотезе А. Д. Александрова. Таким образом, гиперболические виртуальные многогранники послужили вспомогательными объектами для построения разнообразных контрпримеров к гипотезе А. Д. Александрова. В работах [], [] Г. Ю. Панина построила целую серию гиперболических многогранников; каждый из них приводит к контрпримеру. Нахождение новых типов гиперболических многогранников автоматически дает новые типы контрпримеров к гипотезе 1. Теория виртуальных многогранников сегодня активно развивается благодаря работам Г. Ю. Паниной. Эта область детально разработана, но исследования далеко не завершены. Множество открытых взаимосвязей с другими областями математической науки порождают новые проблемы, гипотезы, любопытные направления для исследований (список открытых проблем представлен на сайте - см. Гиперболические многогранники оказались полезными объектами, играющими важную роль в разных математических задачах. Например, эти математические объекты позволили уточнить теорему А. Д. Александрова о многогранниках с иевкладываемыми гранями (см. Совсем недавно обнаружилась неожиданная и перспективная связь теории гиперболических виртуальных многогранников с теорией псевдотриангуляций (И. Стрейну, Ф. Сантос, Г. Роте, см. Псевдоразбиения - это такие разбиения плоских выпуклых многоугольников, при которых разбиение производится на максимально невыпуклые части - так назваемые псевдотреугольники. Такое максимально невыпуклое разбиение оказывается иногда очень полезным. Например, И. Рис. Псевдотреугольник и фрагмент веера. Теория псевдотриангуляций имеет множество взаимосвязей с различными областями науки. Среди них — теория жесткости шарнирных механизмов, теория графов, а так же обширный список задач, связанных с триангуляцией выпуклого множества точек, задачи комбинаторики и информатики (бинарные деревья, стеки, пути и т. Легко заметить, что веера гиперболических многогранников очень напоминают псевдотрингуляции сферы (см. И это наблюдение не случайно (см. Исследование этой взаимосвязи позволило Г. Ю. Паниной (см. Таким образом, теория гиперболических виртуальных многогранников возникла и развивалась в тесной взаимосвязи с различными областями науки; она имеет множество приложений (в решении актуальных задач других математических теорий) и накопила достаточно большой объем сведений об объектах изучения. Однако, есть множество актуальных задач и областей, которые требуют дальнейшего исследования. Например, почти все известные до этого момента примеры гиперболических виртуальных многогранников были построены теоретически. Для них в теории имелись лишь теоремы о существовании, а конкретных, численно построенных примеров не было. Гиперболические многогранники — сложные объекты в следующем смысле: небольшие шевеления вершин гиперболического многогранника могут привести к тому, что этот многогранник перестанет быть гиперболическим (недаром существование этих объектов долгое время было под вопросом). Это трехмерные объекты, состоящие из большого числа граней; они могут иметь самопересечения и самоналожения. Важный вспомогательный объект - веер гиперболического многогранника (см. Это вложенный граф на сфере с большим количеством вершин и ребер (отрезков больших кругов). Также не всегда ясны внешнегеометрические свойства гиперболических многогранников (линии самопересечения, ассимптотические линии и т. Поэтому необходимо построение конкретных численных примеров гиперболических виртуальных многогранников, а также их трехмерная компьютерная визуализация и подробное изучение. Трехмерное компьютерное моделирование этих объектов позволило подтвердить теоретические рассуждения и, возможно, поможет обнаружить некоторые новые свойства этих объектов. Эта задача особенно важна и актуальна в связи с уже существующими ошибочными публикациями. При создании трехмерных моделей гиперболических многогранников и их вееров следует учесть некоторые особенности моделируемых объектов.