Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений на полуоси и её применение к некоторым проблемам вибрации и синхронизации

• Автор: Северин, Григорий Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
1 Математические аспекты асимптотики нелинейных систем с осциллирующими коэффициентами и малым параметром на полуоси 0, оо

1.1 Высшие приближения метода двух масштабов на полуоси

для нелинейных систем с периодическими коэффициентами

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Основные определения и обозначения.

1.1.3 Формализм и вспомогательные леммы

1.1.4 Оценка невязки. Теорема 1.1

1.1.5 Следствие 1.1

1.1.6 Скалярный пример построения асимптотики

1.2 Нелинейные условнопериодические нерезонансные системы на полуоси 0, ос

1.2.1 Постановка задачи, основные определения, предположения и вспомогательные
1.2.2 Формальное построение асимптотики .
1.2.3 Оценка остаточного члена.
1.3 Высшие приближения гибридного метола на полуоси для нелинейных сингулярно возмущнных систем с периодическими коэффициентами.
1.3.1 Постановка задачи
1.3.2 Вид асимптотики и пять основных предположений .
1.3.3 Обоснование формально построенной асимптотики .
1.3.4 Пример построения приближнного решения сингулярно возмущнной начальной задачи при помощи гибридного метода на всей полуоси
Приложения обобщнного на полуось метода двух масштабов к проблемам вибрации и синхронизации
2.1 Асимптотика, на полуоси 0,оо одной механической системы с большими высокочастотными внешними возмущениями
2.1.1 Постановка задачи.
2.1.2 Асимптотика решения и условия 1Ш.
2.1.3 Существование точного решения и строгое обоснование равномерной сходимости метода на полуоси .
2.1А Асимптотика, для механической системы с одной линейной связью .
2.1.5 Пример построения асимптотики на полуоси для механической системы с одной линейной связью . . .
2.2 Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близкими частотами.
2.2.1 Постановка задачи о бифуркации малых синхронных автоколебаний у двух динамических систем с близкими частотами.
2.2.2 Устойчивые гладкие инвариантные интегральные многообразия .
2.2.3 Амплитуды и разность фаз синхронных колебаний .
2.2.4 Устойчивость синхронного положения равновесия .
2.2.5 Пример возникновения синхронных автоколебаний
в одной механической системе .
Литература


Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двояко-периодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений исследователи вынуждены обратиться к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов. Наибольшую актуальность для практических целей представляют приближённые методы, дающие высокую и равномерную точность па всей числовой полуоси, так как, например, вибродинамика часто имеет практический интерес именно к длительным устойчивым процессам. Физическая природа таких явлений, как. С быстрым ростом вычислительных мощностей современных компьютеров у исследователей появилась возможность корректно проводить численные эксперименты в построении приближённых решений высокой точности на очень больших отрезках. Но при разработке этих методов возникают естественные проблемы, связанные со скоростью сходимости, машинной погрешностью и т. Не так просто перенести на бесконечную полуось метод, успешно работающий на конечном, пусть даже на большом, отрезке! Триста лет назад X. Позже многие авторы обнаружили подобные явления в оптике, квантовой механике и т. Возникновение радиосвязи и электроники стимулировало бурное развитие в изучении синхронизации. Обширный обзор приложений можно найти в [], где приведены самые разнообразные задачи из биологии, лазерной физики, акустики. Важные результаты из механики изложены в [5]-(6| И. И.Блехманом, который применил метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова для анализа динамических систем, достаточно строго поставил математические задачи о синхронизации динамических систем. В данной работе мы понимаем синхронизацию как И. И.Блехман: "Явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные движения с различи],ими частотами (угловыми скоростями), при наложении подчас весьма слабых связей начинают двигаться с одинаковыми, кратными или находящимися в рациональных отношениях частотами. Качественно новый подход к изучению явления синхронизации был предложен профессором Стрыгииьш В. В. Этот подход опирается на теорию автоколебаний и метод малого параметра. Пуанкаре-Ляпунова, Предложенным методом можно исследовать синхронизацию двух колебательных систем произвольных размерностей и природы (механической, оптической, электрической и др. С помощью метода интегральных многообразий анализ двух исходных систем произвольных размерностей сводится к анализу двух двумерных систем. В диссертации синхронизация понимается в смысле определения, впервые данного профессором Стры-гиным В. Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 4 страницах машинописного текста, включая 3 рисунка и список литературы из наименований. Во введении показано место работы в современных исследованиях по данной тематике. Представлены цели работы, её краткое описание, методы, применявшиеся при исследованиях, выделены новые результаты, их практическая значимость и возможные области применения. Первая глава посвящена обоснованию обобщений па полуось методов В. В. Стрыгина отыскания высших приближений нелинейных систем с периодическими коэффициентами и имеет три параграфа. А(я) 4- Ві{х)^т(гт) + СД. Приближённое решение хп(і, т) этой задачи ищется в виде функции двух независимых переменных /. Неизвестные вектор-функцпп Уі(і, т),? Болес того, г/*(4, т) —* 0 при і. Неизвестные функции асимптотики будут определяться в следующем порядке: іхо,гиі, Щ, ги2, г>2> •••» иПі шп+і5 *>«+! Л'(ио(оо)). Вектор и мы называем нерсзонанспым, если найдутся такие положительные постоянные 7 и /? Коши с периодическими коэффициентами из первого параграфа. Второй параграф можно рассматривать как естественное обобщение результатов предыдущего параграфа с периодической на условно-периодическую правую часть. Отображения /, О предполагаются г-перподическими по т. Приближённое решение строится в виде функций двух независимых переменных 4,т : з/5(<,т,е) = У(«,т,е) + (т,е), аДг. А:) | > ~/к . Ях,у,т), е— = С(х)у + В{х,т), ж(0) = от, 2/(0) = 0, (* = ет).