Математическое моделирование движения сжимаемой жидкости методами группового анализа

• Автор: Уразбахтина, Лилия Зинфировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 144 с. : ил.

Содержание
Введение.

ГЛАВА 1. Дифференциальные инварианты

1 Дифференциальные инварианты. Теорема о дифференциальных

инвариантах

2 Инварианты двумерных подалгебр.

3 Инварианты трехмерных подалгебр

4 Инварианты четырехмерных подалгебр.

ГЛАВА 2. Симметрнйные подмодели для 3х и 4х

мерных подалгебр.

5 Инвариантные подмодели ранга 1 для 3мерных подалгебр

5.1 Подмодели, сводящиеся к одному обыкновенному
дифференциальному уравнению
5.2 Подмодели, сводящиеся к системе двух обыкновенных
дифференциальных уравнений.
5.3 Подмодели, сводящиеся к системе трех обыкновенных
дифференциальных уравнений.
5.4 Подмодель для самонормализованной подалгебры
6 Дифференциально инвариантные подмодели для
3мерных подалгебр.
6.1 Подалгебра 3.2.
6.2 Подалгебра 3
7 Простые решения и их обобщения для 4 мерных подалгебр.
Инвариантные подмодели ранга ноль с линейным полем скоростей
8 Двухфазная модель жидкости на примере подалгебры 4.
ГЛАВА 3. Движения жидкости для точных решений
9 Движение жидкости для частного решения нулевого приближения
ДИП ранга 20 подалгебры 3. .
Движение жидкости для инвариантной подмодели ранга ноль
подалгебра 4.
Движение жидкости для подмодели II случай с1.
Движение жидкости для подмодели II случай с2.
Заключение
Литература


Групповая классификация: расширение допускаемой группы при специализации произвольных элементов модели. Ли допускаемой группы. Одевание оптимальной системы. Классификация подмоделей: инвариантных, частично инвариантных, дифференциально - инвариантных. Нахождение интегралов и законов сохранения у подмоделей. Физическая интерпретация точных решений: выявление особенностей, области определения (предельные множества), сопряжения решений через слабые и сильные разрывы. Для регулярного нахождения точных решений уравнений 1'азовой динамики, используют оптимальную систему подалгебр алгебры Ли, допускаемой системой. Система уравнений газовой динамики, записанная через инварианты подалгебры, называется подмоделью. Точные решения -это решения уравнений подмодели. Если из точечных инвариантов (инварианты порядка 0) подалгебры можно определить все газодинамические функции, то подмодель называется инвариантной. В противном случае можно строить дифференциально-инвариантные подмодели (ДИП), в которые входят известные частично инвариантные решения (ЧИР) []. В уравнениях (1) и (2) введены следующие обозначения: и - вектор скорости, р - плотность, р - давление, Р(Б) - функция энтропии Б, В, у-постоянные, Ву >0,у=? Вур7"1 > 0, — = д{ + и • V. Базовым пространством системы (1) является 9-имерное пространство х, и, р, р), где I - время, х = (х, у, г) - вектор положения частицы с декартовыми координатами. Переменные г, х - независимые, и, р, р -функции от независимых переменных. Групповое свойство системы УГД (1) с общим уравнением состояния заключается в том, что она остается неизменной при некоторых преобразованиях переменных 1, х, и, р, р. Ох, и' = Ой, ООт = Е, <еХ0 = 1 - вращения. Г = М, х; = ах - равномерное растяжение пространства независимых переменных. Любое вращение вокруг некоторой оси на некоторый угол представляется суперпозиций вращений вокруг осей х, у и г. Суперпозиции преобразований 1 - 4 допускаются системой (1), поэтому они образуют группу в. X9 = хЗу - y3x + u3v - v3u, XJ0 = 3,, Xn = t3, + хЗх + y3y +zdz. V ЛД sin0. X, = Зх, Х2 = cosea. Л t Wcos0a Vcos0 а . Wsin0. G+(sin^? M = tat+xax +r3r. Возможны расширения допускаемой алгебры в зависимости от вида уравнения состояния []. Для уравнения состояния (2) алгебра имеет размерность . Iu,p' = b2 V,p' = b~yp. Преобразования (1) - (6) переводят решение в решение УГД. Поэтому в дальнейшем все точные решения рассмотрены с точностью до преобразований (1) - (6). Векторное пространство операторов (3), (5) замкнуто относительно коммутатора и является алгеброй Ли. Коммутатор алгебры вычисляется по правилу: [X,-, Xj] = XjXj —Xj Х1 []. В таблице введены обозначения: X, :=1, 1 = 1. Пустые клетки означают, что соответствующий коммутатор равен нулю. Подалгеброй алгебры Ли называется подпространство, замкнутое относительно коммутатора. Две подалгебры подобны, если существует автоморфизм, переводящий одну подалгебру в другую []. Конструктивно вычисляются лишь внутренние автоморфизмы. Если взять по одной подалгебре из класса подобных по внутренним автоморфизмам, то получится оптимальная система допускаемых подалгебр. Для УГД с уравнением состояния (2) оптимальная система допускаемых подалгебр построена в работе []. Первая глава посвящена вычислению дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. Порядок дифференциального инварианта есть наибольший из порядков, входящих в него производных. Центральной теоремой этой главы является теорема [, гл. VII] о конечности базиса дифференциальных инвариантов. Для любой подгруппы вг существует конечный базис дифференциальных инвариантов, т. Оператор У называется оператором инвариантного дифференцирования (ОИД) подгруппы если для любого дифференциального инварианта Б действие УР также является дифференциальным инвариантом этой группы. Множество операторов инвариантного дифференцирования подгруппы вг является алгеброй Ли над полем инвариантов этой подгруппы. Мы будем пользоваться теоремой о конечности базиса дифференциальных инвариантов для нахождения ОИД. Вычислим инварианты нулевого порядка. Ха Б = 0, а = 1. Зх, +Цдик +.