Численное моделирование движения небесных тел на основе методов Адамса с высоким порядком аппроксимации

• Автор: Абрамов, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 162 с. : ил.

Введение

Глава 1. Аналитический обзор и постановка задачи

1.1. Краткий обзор но развитию численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1.1.1. Метод тейлоровских разложений

1.1.2. Методы РунгеКутты высоких порядков .

1.1.3. Неявные одиошаговые методы

1.1.4. Экстраполяционные методы.

1.1.5. Многошаговые методы

1.1.6. Сравнительная характеристика методов.

1.1.7. Сходимость и устойчивость численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений .

1.2. Основные сведения из курса теоретической астрономии

1.2.1. Малые тела Солнечной системы
1.2.2. Эклиптическая и экваториальная гелиоцентрические системы координат
1.2.3. Эфемеридное, всемирное время и юлианские дин
1.2.4. Элементы орбит и прямоугольные координаты
1.2.5. Уравнения движения небесных тел
1.3. Постановка задачи .
Глава 2. Построение вычислительных алгоритмов методов Адамса с высоким порядком аппроксимирующих формул для решения задачи Коши
2.1. Разработка вычислительных алгоритмов методов АдамсаБэшфорта
и АдамсаМултона .
2.1.1. Явный метод АдамсаБэшфорта .
2.1.2. Неявный метод АдамсаМултона.
2.1.3. Реализация неявной схемы метода АдамсаМултона.
2.1.4. Построение таблицы начальных значений для методов Адамса
2.1.5. Коэффициенты методов АдамсаБэшфорта и АдамсаМултона .
2.2. Построение вычислительного алгоритма метода Адамса с разделенными разностями .
2.3. Источники погрешностей при численном интегрировании методами Адамса
Глава 3. Применение вычислительных алгоритмов на основе методов
Адамса с высоким порядком аппроксимации для исследования движения небесных тел.
3.1. Разработка алгоритмов решения уравнений движения небесных тел на основе методов Адамса .
3.1.1. Алгоритм решения уравнений движения небесных тел с помощью метода АдамсаМултопа
3.1.2. Алгоритм решения уравнений движения небесных тел с номощыо метода Адамса с разделенными разностями .
3.2. Применение вычислительного алгоритма метода АдамсаМултона с высоким порядком аппроксимирующих формул к решению уравнений движения небесных тел.
3.2.1. Сравнение эффективности метода АдамсаМултона и метода Эверхарта при решении планетной задачи .
3.2.2. Математическое моделирование движения астероидов на основе метода АдамсаМултона .
3.2.3. Исследование сходимости решения при моделировании движения астероидов с помощью метода АдамсаМултона .
3.3. Применение вычислительного алгоритма метода Адамса с разделенными разностями с высоким порядком аппроксимации к исследованию эволюции орбит астероидов
3.3.1. Математическое моделирование движения астероидов на основе метода Адамса с разделенными разностями
3.3.2. Исследование достоверности результатов численного интегрирования уравнений движения астероидов методом Адамса с разделенными разностями
3.4. Использование метода Адамса при разработке каталога орбитальной эволюции астероидов
Глава 4. Разработка программного обеспечения для математического моделирования движения небесных тел на основе вычислительных алгорит
мов методов Адамса с высоким порядком аппроксимации.
4.1. Описание программы для численного интегрирования уравнений движения небесных тел на основе методов Адамса.
4.2. Описание программного обеспечения на основе метода Эверхарта, используемого для оценки точности методов Адамса
4.3. Разработка электронного каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы .
Заключение
Литература


Практическое применение этих формул ограничено теми задачами, для которых легко вычисляются полные производные высших порядков для функции x,. Геометрический смысл метода Эйлера заключается в аппроксимации решения на отрезке xi отрезком касательной, проведенной к график решения в точке ж. В настоящее время методы тейлоровских разложений широко используются при решении различного типа задач. Однако следует отметить, что но затратам машинного времени методы тейлоровских разложений, как правило, значительно уступают методам РунгеКутты. Метод Тейлоровских разложений для задачи п тел рассмотрен в работах В. Ф. Минина и О. В. Сизовой , Л. Ф. Заусаева , Ф. X. Алтыпбаева . Предложенный ими метод применим в исследовании движения больших планет и таких малых тел, которые движутся по почти круговым орбитам и не имеют тесных сближений с возмущающими телами. Для тел, движущихся по орбите с большим эксцентриситетом или имеющих тесные сближения с большими планетами или Солнца, сходимость рядов ТсйлораСтсфснсона резко ухудшается. В этом случае для сохранения необходимой точности можно использовать уменьшение шага интегрирования или увеличение числа производных в формуле па каждом шаге. Одпако это не всегда дает желаемый результат, так как с увеличением числа производных от правых частей уравнений движения резко снижается эффективность данного метода. В работе предложен алгоритм, позволяющий устранить указанные трудности с помощью регуляризации уравнений движения, содержащих особенности. Методы РунгеКутты основаны на построении формул для функции , которая максимально близка к Д и не содержит производных от функции . Этот процесс замены рядов Тейлора функцией рх, у, для двухэтапного метода можно представить следующим образом. Для нахождения этих постоянных представим функции р и Д в виде разложения по степеням . Vx, у, 4 2x, у 4 xx, у 2ix, , у 4 0Д2, 1. Даг,У,Л x, Лх,у ж,уж,у 0Л2. Из 1. С2 1, о2о2 1 1. Таким образом, получены три уравнения для четырех неизвестных. Так как в общем случае нельзя найти соотношений ддя членов порядка 0, то один из параметров можно положить свободным. Пусть сг а, где аО. Ху Ь2 . Уп1 Уп x, Г у уп x,. Для двухэтапного метода РунгеКутты формулу 1. Формула 1. В задачах небесной механики данный метод получил достаточно широкое распространение при краткосрочном прогнозировании движения искусственных небесных тел. Это связано с исключительной простотой его алгоритма. Однако при долгосрочном прогнозировании метод четвертого порядка не дает необходимой точности. Методы 1. Аг определяются из системы т нелинейных уравнений. Методы 1. Однако вычислительный алгоритм при этом значительно усложняется, поскольку приходится для нахождения коэффициентов аг, Ьгя, кг использовать итерационные методы. Неявные методы в настоящее время являются наиболее перспективными, так как являются устойчивыми и позволяют получать решение с высокой степенью точности. В работах Дж. Батчера , Е. Фелберга 0, Э. Эверхарта и других авторов метод РунгеКутты получил свое дальнейшее развитие. Фелберг разработал алгоритмы с пятого до восьмого порядков для решения уравнений первого порядка, а также алгоритм,I от четвертого до девятого порядков для решения уравнений второго порядка без сведения их к уравнениям первого порядка. Уп 2 п г Уп Ь л
1. Несомненным достоинством алгоритмов Фелберга является возможность производить оценку точности вычислений на каждом шаге с помощью главного члена ошибки метода. Э. Эверхарт предложил совершенно иной способ построения неявных одношаговых алгоритмов типа Рунге Кутты. Полиномы 1. Тейлора, а коэффициенты Л, вычисляются из условия наилучшего приближения х и х с помощью конечных разложений 1. Уравнение 1. Гх, . Рх Л1 2 . Ь ЛТП. Интегрируя 1. РЬ А Лг Лд 2 о
Р Х1 ОГ2 2 Ь г 3 . Ри осЬь2 аг а3м,
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в уравнениях 1. А i 4 гзз 4. Л2 С2 4 2 з3 4 . Л3 аз 4. Су 1 4. Мз Мг 2 3 4 0. Таким образом, нахождение решения уравнения 1. Вопрос нахождения узлов разбиения шага к О, Т рассмотрим на примере алгоритма интегрирования пятого порядка. В начальный момент времени 0 известны ,, . Л3
1.