Численное решение интегродифференциально-алгебраических уравнений с запаздывающим аргументом, моделирующих некоторые прикладные задачи

• Автор: Дмитриев, Станислав Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Численные методы решения сингулярных систем

1.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения

1.2 Дифференциальноалгебраические уравнения.

2 Наилучшая параметризация при решении систем дифференциальноалгебраических уравнений

2.1 Две формы метода продолжения решения но параметру . .

2.2 Наилучший аргумент системы

дифференциальноалгебраических уравнений.

2.3 Непрерывное продолжение по наилучшему аргументу

2.4 Дискретное продолжение по наилучшему аргументу.

2.5 Сходимость метода Ньютона
2.6 О применении дискретного продолжения к решению краевой
задачи для дифференциальноалгебраических уравнений . .
2.7 Результаты численного эксперимента.
3 Метод продолжения по наилучшему аргументу при решении систем интегродифференциальноалгебраических уравнений с запаздывающим аргументом
3.1 Постановка задачи
3.2 Наилучший аргумент задачи.
3.3 Непрерывное продолжение по наилучшему аргументу
3.4 Дискретное продолжение по наилучшему аргументу.
3.5 Результаты численного эксперимента.
4 Численное решение прикладных задач
4.1 Уравнения, описывающие движение математического маятника
4.2 Система уравнений, описывающая процесс вибросверления .
4.3 Исследование нестационарных электрических цепей
Заключение
Литература


Доказано, что /с-шаговая ФДН-схема при к < 6 сходится с порядком р — к, если погрешность стартовых значений имеет порядок 0(hp^1). ФДН дано для случая переменной длины шага. Многошаговые методы, отличные от ФДН, также представлены в литературе, посвященной численному решению ДАУ. Так, в работе [] предложен метод, согласно которому система (1) разделяется на жесткую систему, которая включает в себя алгебраические уравнения и нежесткую подсистему. Нежесткая подсистема решается классическим явным методом Рунге-Кутты 4 порядка, тогда как жесткая (алгебраическая) подсистема решается при помощи трехшагового метода ФДН. Достоинством данного подхода является возможность решения части системы явным методом. Недостатком же является то, что эффективность и устойчивость данного метода зависит от самой возможности такого разделения и от того, как оно было выполнено. В работах R. M2n+1 —> Ru, C(t) - матрица п х п. Для решения таких задач-применялись многошаговые методы. Исследование сходимости общих многошаговых методов проведено в работе []. Однако, как отмечается в монографии [], среди многошаговых методов наилучшие результаты при решении прикладных задач показывают методы, основанные на ФДН. Причиной этому являются хорошие свойства устойчивости и точности данных методов. Первые результаты о сходимости неявных методов Рунге-Кутты были получены в работах [, ] для ДАУ индеска 1. При помощи теоремы о неявной функции доказано, что если метод является жестко точным, то порядок метода будет таким-же, как и для ОДУ. Рунгс-Кутты. При таком подходе метод имеет такой-же порядок, как и для ОДУ. Недостатком является увеличение размерности нелинейной системы. В [] аналогичные исследования были проведены для ДЛУ высших индексов. Были получены оценки погрешности для х и у-компонеиты. В работе [] данные результаты были улучшены (использовался другой подход - локальная и глобальная погрешности исследовались отдельно). В работах [, ] для систем индекса 2 предложен полуявный метод Рунге-Кутты, основная идея которого заключается в том, чтобы дискретизировать дифференциальную переменную у явным образом, а алгебраическую переменную х - неявным. При таком подходе возможна более аффективная реализация, чем при дискретизации с помощью неявных методов, поскольку размерность нелинейной системы получается меньше. Такие методы очень эффективны, в частности, для механических систем со связями при их формулировке в виде задач индекса 2. Серия работ Г. Ю. Куликова (см. Для таких систем предложена серия комбинированных методов, построенных на основе неявных методов Рунге-Кутты с использованием для решения системы нелинейных уравнений итерационных методов, таких как метод простой итерации, метод Ныотона и модифицированный метод Ньютона. Ныотона. В работе [] был предложен метод параметризации задач оптимального управления, который позднее (см. Согласно данному методу приближенное решение представляется в виде сплайна с подвижными узлами, параметры которого определяются из условия минимизации невязки сингулярной части системы (1). Такой сплайн назван вариационным. Ь А (? В работе Ю. Е. Бояринцева [4] для систем вида (3) с постоянными матрицами А и В предложен метод возмущения, который состоит в переходе от исходной системы с вырожденной матрицей при производной к нахождению решения системы ОДУ с матрицей невырожденной, но близкой к исходной. Данные алгоритмы предложены для случая регулярного пучка матриц ХА + В. Дальнейшее развитие методы возмущения получили в работах [, ]. В работе [6] предложен алгоритм возмущения, который применим и для систем с сингулярным пучком матриц Л А (г) + В{і). В данной работе система (3) сначала записывается в интегральной форме, затем системе интегральных уравнений сопоставляется возмущенная система, после чего полученное равенство дифференцируется и вновь получается задача Коши для системы ОДУ, но уже с невырожденной матрицей при производной. В работах М. В. Булатова и В. Ф. Чистякова [8, 9] предлагается понижать индекс систем вида (3) при помощи левого регуляризирующего оператора, определенного через полуобратные матрицы.