Разработка численно-аналитических методов оптимизации динамики пучков траекторий

• Автор: Меркурьев, Сергей Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛННЫМИ ПУЧКАМИ ТРАЕКТОРИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1 Постановка задачи оптимизации

1.2 Представление функционала и его вариации через решения уравнений в частных производных

1.2.1 Приращение функционала.

1.2.2 Вариация функционала.

1.2.3 Необходимые условия оптимальности

1.2.4 Достаточные условия оптимальности

1.3 Оптимальный выбор параметров систем

формирования пучков

ГЛАВА 2. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДИНАМИКИ ПУЧКОВ
2.1 Представление вариации функционала.
2.2 Спуск на основе первой вариации
2.3 Градиентный метод в задаче совместной оптимизации программного и возмущнных движений
2.4 Управление границей множества
2.4.1 Представление функционала
2.4.2 Представление вариации.
2.5 Вычисление градиента в задаче оптимизации программного и возмущнных движений
2.5.1 Управление множеством
2.5.2 Управление границей
ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИКИ ЧАСТИЦ В СТРУКТУРЕ С ПОКФ
3.1 Математическая модель оптимизации динамики частиц
3.1.1 Уравнения движения.
3.1.2 Критерии качества управления.
3.1.3 Алгоритм спуска по антиградиенту.
3.2 Результаты численной оптимизации.
3.3 Моделирование динамики частиц с учтом
их взаимодействия
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Последний результат интересен тем, что вместо того, чтобы следить за динамикой всех представляющих точек некоторой области фазового пространства, мы следим только за точками, лежащими на её границе. A.Д. Овсянникова проблемам. Однако в данной работе разрабатываются методы оптимизации, основанные на рассмотрении специальных уравнений с частными производными первого порядка. Следует отметить, что подход к нахождению необходимых и достаточных условий оптимальности в различных вариационных задачах, при котором движение изучается с помощью некоторых функций, удовлетворяющих уравнениям в частных производных первого порядка, широко использовался в трудах Р. B.И. Зубова, Н. Е. Кирина, Д. А. Овсянникова и других авторов. Так, в работах В. Эрдмана-Вейерштрасса, принципом максимума JT. C. Понтрягина, принципом динамического программирования Р. Веллмана. Показано, что управления, оптимальные в смысле демпфирования функционала, будут также оптимальными и в смысле интегрального функционала, если выполняются условия существования решения специального уравнения с частными производными первого порядка. В.И. Зубовым предложен метод последовательных приближений построения минимизирующей последовательности управлений на основе демпфирования интегрального функционала. Методы управления ансамблем траекторий с использованием уравнений с частными производными первого порядка разрабатывались Д. А. Овсянниковым, A. B. Пантелеевым, А. Г. Харченко. В работах Д. А. Овсянникова и А. Г. Харченко приращение и вариация исследуемого функционала выписываются через функции, удовлетворяющие линейным уравнениям в частных производных специального вида. В результате построение минимизирующей последовательности управлений можно осуществить на основе первой вариации исследуемого функционала. В диссертации этот подход распространяется на исследование проблемы совместной оптимизации программного и ансамбля возмущённых движений [,, , ,]. Отметим, что рассматриваемые в диссертации математические задачи можно трактовать также как задачи управления динамикой некоторого объекта при неполной информации о начальных данных, когда указана лишь область вероятных начальных состояний этого объекта и приходится управлять всем множеством возможных траекторий сразу. Поэтому разрабатываемые численно-аналитические методы непосредственно примыкают к разнообразным задачам управления ансамблями траекторий, исследовавшимся в работах А. P.C. Мироновой, Г. Н. Константинова, Т. Ф. Филлиповой и других авторов. Как уже отмечалось ранее, рассматриваемые в диссертации методы оптимизации основаны на рассмотрении уравнений с частными производными первого порядка. Условиям существования и единственности, построению классических и обобщённых решений уравнений с частными производными первого порядка типа Гамильтона-Якоби посвящено много работ [, , , , , , ]. Так, в трудах М. Дж. Крэндапа, П. Л. Лионса и Л. С. Эванса [, ] предложен подход к определению вязкостных решений краевых задач для уравнения Гамильтона-Якоби общего вида. A.И. Субботиным [] предложена теория минимаксных решений уравнений с частными производными первого порядка, показана эквивалентность вязкостных решений минимаксным. Развитие теории обобщённых решений уравнений с частными производными глубоко связанно с такими научными направлениями, как оптимальное управление, дифференциальные игры, негладкий и многозначный анализ. Предложенные в диссертации методы совместной оптимизации программного и возмущённых движений находят естественное применение в решении задач оптимизации систем формирования, ускорения и транспортировки пучков заряженных частиц различного назначения. При этом управляемым объектом является ансамбль заряженных частиц, представляемый траекториями в фазовом пространстве. Математические проблемы формирования и оптимизации динамики пучков заряженных частиц в ускоряющих и фокусирующих структурах ставились и решались разными учёными [, , , , ]. B.И. Зубова была создана теория построения электромагнитных полей, вызывающих движение заряженных частиц в соответствии с заданным полем скоростей. В работах Д.