Моделирование и исследование сложных систем, параметризованных геометрическим графом

• Автор: Гайдай, Виктор Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 124 с.

Оглавление
Введение.

1 Модель поперечных деформаций стержневой систем

1.1 Предварительные понятия

1.2 Модель деформаций стержневой системы.

1.3 Условия корректности модели .

1.4 Принцип максимума

2 Функция Грина и е свойства

2.1 Построение функции Грина. Интегральное представление

решения краевой задачи.

2.2 Непрерывность и гладкость функции Грина .

2.3 Метод редукции
2.4 Неотрицательность функции Грина
3 Реализация метода Ритца для краевой задачи на графе
3.1 Минимум функционала энергии
3.2 Обобщнное решение уравнения.
3.3 Метод Ритца
3.4 Реализация метода Ритца для краевой задачи на графе с
помощью сплайнов.
Литература


Выполнение этих свойств обеспечивают однозначную разрешимость краевой задачи при произвольных правых частях. Грина. Грина. Ритца, реализованного на сплайнах на графе. Перейдем к описанию конкретных результатов диссертации, которая состоит из трёх глав, разбитых на параграфы. I. В первой главе проводится описание стационарных моделей малых поперечных деформаций стержневых систем, вывод краевой задачи для описанных моделей, исследование условий вырожденности и невырожденности краевой задачи, доказываются два варианта принципа максимума для решения однородного уравнения. В п. Мы используем далее терминологию семинара Ю. В. Покорного (см. Считается заданным геометрический граф Г из Е3, его ребра обозначаются через 7і, г = 1, г, совокупность его внутренних вершин обозначается через J{Г), а граничных вершин через дГ. Обозначим объединение точек всех ребер - Г°. Тогда Г = Г° и J(Г). Для каждой а Є J(T) и $Г введем множество Г (а) состоящее из а и всех примыкающих к а ребер. Топология на Г индуцирована из Е3. На каждом ребре 7* считается введенной натуральная параметризация х = 0, р(-) 6 С2(Г). Функция /(•) ? С(Г°) задает плотность внешней нагрузки, действующей на систему. Г) и а7(а) при всех а € К(Г), 7 € Е(а) неотрицательны. Справедливо следующее утверждение. С§(Г) = {пи € С2(Г), идг = 0}. Теорема 1 Пусть функция и(-) даёт, минимальное значение функционалу на Со (Г). Тогда и(-) ? У (Г), 7 ? Г, 7 є Е(а). У = 0. Под решением уравнения (2) понимается функция •*/(•). Е(Г) иу ? С4(7) и при всех х ? Решением задачи (2) - (5) называем решение ^(-) уравнения (2), для которого п(-) ? С(Г) и выполнены условия (3) - (5). Задача (2) - (5) называется невырожденной, если соответствующая однородная задача имеет только нулевое решение в С4(Г). В п. Пусть подмножество Ф графа Г образовано теми ребрами 7 = (а, Ь) из -? Г), для которых выполнены условия (3) при (Ху(а) = <%у(Ь) = 0. Покажем, что вырожденность или невырожденность задачи на графе определяется расположением компонент множества П = Г Ф. Следующие вспомогательные утверждения характеризуют структуру множества ? Лемма 1 Пусть С1 ф 0. Miwoic. С1 замкнуто в Г и соси шит из внутренних вершин графа и рёбер графа, не вошедших в Ф. Ф, 3) объединение точек всех простых цепей 1 ненулевой длины в О, с концевой вершиной, совпадающей с фиксированной внутренней вершиной. Каждая компонента множества О, является замкнутым линейно связным2 подмнооюеством графа Г. Лемма 2 Решение и(-) уравнения (6) линейно на ребрах графа, входящих в Ф. Лемма 3 Если решение уравнения (6), удовлетворяющее условиям (3), имеет экстремум во внутренней точке ребра, то оно постоянно па этом ребре. Для каждой компоненты ш множества П обозначим Мы = вир и(х), гаа, = г^(гг). Если ди> ф 0 (дш = 0), то будем говорить, что и> примыкает (не примыкает) к границе графа дГ. Разобъём множество следующим образом: ко множеству П] отнесём компоненты, которые не примыкают к и не содержат вершины а, для которых в условии (1. Пусть к е N. Ьо. Ь*,. Г, причёл I Ь,. Ь) т4 Ь,* ь 3 ~ °> * - 1» (ЬоМ), (^1, Ьг) (6*-1>Д*) - рёбра графа. Ьо и 6*, навивается множество (и? Го(^^)+1)) (0*=* {&*})• Наряду с открытой цепью будем рассматривать полуоткрытые цепи [Ь0Ьх. Ьо € . Г), (ЬоЬI. Ьь] = (Ь0Ь1. Ь*} при Ьк е 3(Г), и замкнутую цепь [ЬоЬ • •. Ь/ь] = {ЬоЬI. Ьо,Ьк € «/(Г). Цепь называется составной, если в ней повторяется хотя бы одно ребро, сложной, если повторяется хотя бы одна вершина, и простой - в противном случае.