Моделирование пространственно-периодических течений жидкости асимптотическими и численными методами

• Автор: Мелехов, Андрей Петрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 145 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава I. Построение асимптотики вторичных течений для основного течения с ненулевым средним

1.1. Постановка задачи .

1.2. Линейная спектральная задача.

1.3. Сопряженная задача.

1.4. Асимптотика автоколебаний

1.5. Нахождение функции г0

1.6. Нахождение функции

1.7. Нахождение амплитуды автоколебаний 1.

1.8. Примеры основных течений.

1.9. Заключение к первой главе
Глава И. Построение асимптотики вторичных течений для основного течения с нулевым средним
2.1. Постановка задачи .
2.2. Линейная задача устойчивости
2.3. Сопряженная задача.
2.4. Асимптотика автоколебаний
2.5. Нахождение функции го
2.6. Нахождение функции г2
2.7. Нахождение амплитуды колебаний 71.
2.8. Примеры
2.9. Заключение ко второй главе.
Глава III. Движение частиц жидкости в основных и вторичных потоках
3.1. Случай параллельного основного течения
3.2. Случай непараллельного основного течения.
Линии тока основного течения.
Асимптотика вторичного течения
3.3. Движение частиц в автоколебательном потоке
Разбегание частиц жидкости
Локальная неустойчивость. Показатели Ляпунова
Перемешивание. Расплывание фазовой капли
Отображение Пуанкаре.
3.4. Возникновение хаоса в окрестности сепаратрис
Примеры течений.
Движение частиц жидкости
3.5. Поведение частиц во вторичном потоке, ответвляющемся от
трехмерного сдвигового течения
Движение частиц в автоколебательном потоке
Спектр Фурье
Диффузия
3.6. Заключение к третьей главе
Заключение
Список литературы


Па основании полученных асимптотических формул численно построены траектории движения частиц жидкости во вторичных потоках. Подобно фазовым кривым консервативных неавтономных систем [] — |], траектории движения частиц несжимаемой жидкости (пассивной примеси) в фазовом пространстве обнаруживают как регулярное, так и хаотическое поведение. Характеристиками хаоса являются показатели Ляпунова, спектр Фурье, отображение Пуанкаре, явление перемешивания [] — []. Хаотическое поведение частиц жидкости (пассивной примеси) при регулярном поле скоростей называется лаграижевой турбулентностью. Макроскопипические движения пассивной примеси и возникающая при этом лагранжева турбулентность в двумерных вторичных по отношению к течению Колмогорова течениях жидкости, сдвиговых течениях несжимаемой жидкости численными методами исследована в []-[]. Хаотическая динамика в спиральных трехмерных течениях невязкой сжимаемой жидкости изучена в []. Исследование лагранжевой турбулентности методом сечений Пуанкаре в задаче о течении вязкой жидкости в слое между вращающимися эксцентричными цилиндрами проведено в [0]. Актуальность темы. Интерес к проблеме потери устойчивости и рождению новых режимов в нелинейных моделях математической физики обусловлен как технологическими применениями, так и запросами теории. Известно, что в течениях жидкости, например, при увеличении скорости, возникают хаотические (так называемые турбулентные) течения. Проблема этого перехода тесно связана с потерей устойчивости основного регулярного течения. В природных и искусственных системах при изменении параметров, определяющих внешние условия или внутренние свойства системы, стационарные состояния теряют устойчивость. При этом могут возникать незатухающие периодические колебания. Это явление широко распространено. Им объясняется переменная светимость некоторых звезд, появление периодически протекающих биохимических реакций, флаттер в самолетных конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости и т. В диссертационной работе рассматривается задача устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических течений вязкой несжимаемой жидкости. Двумерные течения служат моделью реальных течений жидкости или газа, в которых под влиянием тех или иных физических причин горизонтальная составляющая ноля скорости существенно преобладает над вертикальной. Указанные течения играют1 важную роль в природных и технических гидродинамических системах. К ним относятся, в частности, крупномасштабные движения океана и атмосфер вращающихся планет (включая Землю), циркуляция плазмы на солнце и других звездах, эволюция галактик и течения в замагниченной плазме. В диссертационной работе с помощью асимптотических разложений моделируются вторичные автоколебательные режимы, ответвляющиеся от основного стационарного решения нелинейных уравнений Навье-Стокса. При этом инструментом исследования является разработанный В. И. Юдо-вичем вариант метода Ляпунова-Шмидта. В диссертационной работе метод позволяет получить явные представления сложных вторичных течений, что при решении подобных задач удается довольно редко. При исследовании реальных течений жидкости изучается поведение пассивной примеси. Например, для исследования океанических течений, таких как Гольфстрим, используются дрифтеры — свободно дрейфующие поплавки с антенной, информация о положении которых передается с помощью спутниковой связи. В настоящей работе на основе полученного асимптотического представления вторичных течений проводятся компьютерные эксперименты по исследованию поведения частиц жидкости (пассивной примеси) в автоколебательных потоках. При периодическом (регулярном) поле скоростей обнаружено возникновение хаотического поведения пассивной примеси, — так называемая лагранжева турбулентность. Объект исследования. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости под действием поля внешних сил //'(. X ? К2, периодического по пространственным переменным Х, Х2 с периодами Ьу Ь2 соответственно, причем ? Ь. Ь2 = —. У)и — и&у = —Ур 4- сНу у = 0, (0. Я2»*) = У(хиХ2)$, У{хиХ2 + Ь2^) = у{х>х2^).