Математическое моделирование и численное исследование динамического хаоса в диссипативных системах нелинейных дифференциальных уравнений

• Автор: Сидоров, Сергей Васильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 283 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ З

2.2.5. Система Чуа

2.2.6. Система i.

2.2.7. Система Рабиновича и Фабриканта

2.2.8. Макроэкономическая модель Магницкого

2.2.9. Пример Магницкого

2.2 Система Рикитаки

2.2 Комплексная система дифференциальных уравнений Лоренца

2.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с

запаздывающим аргументом

2.4. Неавтономные двумерные системы дифференциальных уравнении

2.4.1. Уравнение ДюффингаХолмса
2.4.2. Уравнение Матьс
2.4.3. Система уравнений Крокета
2.4.4. Уравнение Краснощекова
2.5. Выводы.
Глава 3. Пространственновременной динамический хаос. .
3.1. Модель диффузионного хаоса в маломодовом приближении.
3.2. Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений.
3.2.1. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье.
3.2.2. Переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения КурамотоЦузуки
3.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора
3.3.1. Первая краевая задача
3.3.2. Вторая краевая задача
3.4. Выводы.
Глава 4. Основы теории перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений .
4.1. Динамика мультипликаторов в каскадах бифуркаций удвоения периода предельных циклов.
4.2. Свойства особой точки ротор в двумерных неавтономных системах.
4.3. Образование динамического хаоса в трехмерных диссипативных автономных системах дифференциальных уравнений.
СОДЕРЖАНИЮ
4.4. Динамический хаос в многомерных системах. Универсальность механизма образования хаоса в диссипативных системах дифференциальных уравнений.
4.5. Структура решений. Классификация сингулярных хаотических аттракторов
4.5.1. Структура решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений
4.5.2. Классификация сингулярных хаотических аттракторов
4.0. Выводы
Глава 5. Применение теории динамического хаоса в
математическом моделировании.
5.1. Локализация и стабилизация неустойчивых решений в хаотических динамических системах
5.1.1. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом .
5.1.2. Стабилизация термодинамической ветви в системах дифференциальных уравнений вида реакциядиффузия.
5.3.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений .
5.3.4. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов в уравнениях с запаздывающим аргументом .
5.2. Бегущие волны в активных средах и динамический хаос.
5.2.1. Бегущие волны в осциллирующей среде.
5.2.2. Бегущие волны в уравнении вида реакциядиффузия
с переносом .
5.2.3. Бегущие волны в возбудимой среде
5.3. Идентификация динамической системы но траектории
5.4. Численный подход к исследованию гамильтоновых систем. .
5.5. Выводы
Заключение.
Список литературы


Однако, при выборе т топт погрешность резко возрастает, что может привести к ошибочным результатам, особенно, при решении нелинейных систем дифференциальных уравнений. Пример 1. При большем значении параметра, например г 6. Предполагалось также , что система, якобы, помнит о существовавшем в ней цикле. При дальнейшем увеличении г в системе возникает хаос. Рис. Проекции на плоскость х, г фазового портрета цикла Сц слева при г 6. И 0. Действительно, хаотический всплеск имеет место в системе Лоренца при г 6. РунгеКутта 4го порядка шаг интегрирования к 3 . Если же взять к 2 2, то никаких хаотических всплесков не наблюдается ни при г 6. Более того, нетрудно видеть, что в системе существует устойчивый предельный цикл вплоть до значения г 0, если взять к 3 2. Это тот же самый цикл, что наблюдается и при значении г 6. Таким образом, в системе Лоренца нет ни перемежаемости, ни перехода к хаосу через перемежаемость. Данный эффект связан исключительно с численными ошибками, возникающими вследствие некорректности задачи вычисления производной в окрестности ОСИ 2 . Дополнительным основанием для такого вывода является то, что мультипликаторы цикла, измеренные при значении г 6. Эти данные показывают, что значение параметра г 6. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. С г, о заданная непрерывная функция, называемая начальной функцией. Отрезок т , на котором задана начальная функция, называется начальным множеством о. Обычно предполагается, что о 0 5. Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом относятся к классу функциональнодифференциальных уравнений. Несмотря на то, что эти уравнения давно широко применяются в описании и математическом моделировании различных процессов и систем с последействием, тем не менее даже для линейных функциональнодифференциальных уравнений нет общих методов нахождения решений в явном виде 7. Численные методы интегрирования таких уравнений также не так хорошо развиты, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Литературы, за исключением отдельных статей и недавно вышедшей монографии Кима и В. Г. Пименова , посвященной численным методам решения функциональнодифференциальных уравнений почти нет. При выборе численного метода решения уравнения 1. Особенностью численного интегрирования уравнения 1. Ь может быть задана аналитически для всех моментов времени т 0. Поэтому естественным методом численного решения задачи 1. Ч1 Ри, и 1. Процесс интегрирования уравнения 1. До,о,т о Д. Затем по уже известному значению х вычисляется . Таким образом, при интегрировании уравнения 1. Т происходит процесс обновления элементов множества значений начальной функции на множестве ,0 путем присвоения им новых значений ршг , г 0, т. Недостатками такого способа интегрирования уравнения 1 являются, прежде всего, высокая погрешность Е 0Д, так как изложенный способ решения уравнения 1. Эйлера, и отсутствие конструктивного алгоритма вычисления матрицы монодромии. Более эффективным является метод, основанный на применении метода РунгеКутты 4 порядка аппроксимации. Однако, чтобы получить 4ый порядок аппроксимации необходимо обеспечить погрешность интерполяции начальной функции на множестве 0 не ниже 0Д4. Этого можно достичь, используя для интерполяции либо кубические полиномы Лагранжа, либо кубические сплайны. Однако и то и другое значительно усложняет вычислительную процедуру. Кроме того, этот подход также не является конструктивным для вычисления матрицы монодромии в случае периодических решений. Для решения поставленных в работе задач, связанных с необходимостью использования производных решения по начальным условиям и по параметрам наиболее эффективным представляется подход, основанный на идее Н. Н. Красовского рассмотрения дифференциальноразностных уравнений как полугрупп преобразований . Пусть Ст 0 пространство непрерывных вещественных функций , задающих на интервале т 0 начальные условия уравнения 1 При этом уравнению 1. Х,0 хг , т 9 0, 5х,й ДхЛд . В этом случае систему 1. Уо, ят ут, хА Ух, г 1, .