Асимптотический анализ математических моделей оптимального управления с промежуточными точками и малым параметром в критерии качества

• Автор: Смирнова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Оглавление
Введение.
1 Асимптотика решения линейноквадратичных задач оптимального управления с промежуточными точками и малым параметром в критерии качества

1.1 Условия оптимальности управления.

1.1.1 Постановка задачи.

1.1.2 Достаточное условие оптимальности управления .

1.1.3 Необходимое условие оптимальности управления . . .

1.1.4 Разрешимость задачи

1.1.5 Преобразование к задаче без промежуточных точек .

1.1.6 Оптимальное управление в форме обратной связи . .

1.2 Асимптотика решения линейноквадратичных задач оптимального управления с промежуточными точками и малым параметром в критерии качества.
1.2.1 Постановка задачи.
1.2.2 Формализм построения асимптотики
1.2.3 Оценки асимптотического решения .
1.2.4 Численный эксперимент.
1.3 Асимптотика оптимального управления ь форме обратной
1.3.1 Постановка задачи
1.3.2 Формализм построения асимптотики.
1.3.3 Опенки асимптотического решения .
1.3.4 Численный эксперимент.
2 Асимптотический анализ нелинейных задач оптимального управления с различной ценой слагаемых, зависящих от промежуточных точек
2.1 Постановка задачи
2.2 Формализм построения асимптотики.
2.3 Оценки асимптотического решения
2.4 Численный эксперимент
3 Асимптотика решения задач оптимального управления с уравнением состояния, разрывным в промежуточной точке
3.1 Условия оптимальности управления в задачах с уравнением
состояния, разрывным в промежуточной точке.
3.1.1 Постановка задачи.
3.1.2 Достаточное условие оптимальности управления .
3.1.3 Необходимое условие оптимальности управления .
3.1.4 Разрешимость задачи .
3.2 Асимптотика решения задач оптимального управления с урав
нением состояния, разрывным в промежуточной точке .
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Формализм построения асимптотики
3.2.3 Оценки асимптотического решения.
3.2.4 Численный эксперимент.
Литература


В настоящее время, когда точные методы анализа почти исчерпаны, приближенные аналитические и асимптотические методы исследования математических моделей (в частности, в виде соответствующих дифференциальных уравнений) стали неотъемлемой частью теории математического моделирования, позволяя выписывать приближенные решения достаточно сложных возмущенных задач, если известны решения соответствующих (обычно более простых) иевозмущенных задач. Использование асимптотических методов часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности. В подавляющем большинстве работ, посвященных задачам оптимального управления с малым параметром, асимптотический анализ решений производится па основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используются методы Пуанкаре и пограничных функций Вишика-Люстерника-Васильевой, а также метод интегральных многообразий (см. Второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, названный в [] прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления и использовать пакеты программ для нахождения членов асимптотического разложения. Высшие приближения решения в последней задаче были построены в []. Существенное развитие прямая схема получила в работах [, 2|, посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений па управление. При этом было построено асимптотическое решение любого порядка точно сти, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления. Обзор работ, посвященных применению прямой схемы в различных задачах, приведен в [8]. Прямая схема построения асимптотического решения задач оптимального управления является основным методом в данной диссертационной работе. Также используются теория оптимального управления, классические методы дифференциального исчисления функций многих переменных и теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы из наименований. Общий объем диссертации - 2 стр. Мар1е. Во введении представлен краткий обзор работ, относящихся к теме диссертации, и дано краткое описание диссертации по главам. В первой главе проводится асимптотический анализ линейно - квадратичной задачи оптимального управления с промежуточными точками и малым параметром в критерии качества. Несмотря на то, что условия оптимальности управления для задач с промежуточными точками изучались многими авторами (см. Здесь t Є [0,Т], 0 = to < t < . R(t) положительно определен при всех t G [0,T], элементы х° G X и ? G X (j = 1,. N + 1) заданы, операторы Fj не зависят от t, остальные операторы и функции /(•), d(-) со значениями в X, (](-) со значениями в U непрерывны по t. Как обычно, L(Y) (L(Y,Z)) означает множество линейных ограниченных операторов, действующих в У (из У в Z). Предполагается, что допустимые управления и(-) являются кусочно -непрерывными функциями на [О,Т]. Под решением уравнения состояния в первых двух главах понимается непрерывная функция . Управление и(-) и рассматриваемая далее функция ^(-), для определенности, считаются непрерывными справа в точках разрыва, в точках t = 0 и t = Т предполагается непрерывность справа и слева соответственно. Приведем соответствующие теоремы. Теорема 1. Достаточное условие оптимальности управления). W(t)x. A{tyip{t) + S(,t)u.