Исследование периодических процессов в математических моделях динамических систем с запаздыванием, релаксацией и подкачкой

• Автор: Сеславин, Андрей Андреевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 119 с.

Введение
1 Постановка задачи о периодических решениях динамической системы с запаздыванием и подкачкой

1.1 Постановка задачи

1.2 Исторический очерк работ, посвященных исследованию динамических

систем с запаздыванием и возможностью подкачки

1.3 Технические и экономические приложения исследуемой в работе математической модели динамической системы.
1.4 Некоторые свойства решений простейшего дифференциального уравнения с запаздыванием и корней его характеристического уравнения .

1.5 Выводы но Главе 1.

2 Исследование периодических процессов в непрерывной динамической системе с запаздыванием и возможностью подкачки

2.1 Предварительные замечания.

2.2 Необходимые условия существования колебаний в системе 2.1.

2.3 Использование интегрального преобразования
ЭйлераЛапласа для нахождения периодических решений исследуемой динамической системы с длинами периодами большими 2.
2.4 Свойства функции .Рт
2.5 Периодичность решения, полученного в виде экспоненциального разложения .
2.6 Случай т
2.7 Доказательство существования и единственности положительного периодического решения непрерывной динамической системы.
2.8 Исследование возможности существования периодических решений динамической системы с запаздыванием и подкачкой с периодами т 2 .
2.8.1 Случай т 2 .
2.8.2 Случай т
2.8.3 Случай 1 т
2.8.4 Частный случай т .
2.8.5 Случай т
2.8.6 Случай г
2.8.7 Вариант т0
2.8.8 Вариант т0 .
2.8.9 Случай т0
2.9 Условие существования колебаний в системах с подкачкой.
2. Исследование периодических решений в динамической системе с несколькими запаздываниями и возможностью подкачки.
2. Выводы по главе
3 Исследование периодических решений в конечномерных динамических системах с возможностью подкачки
3.1 Исследование дискретной системы .
3.2 Случай 0 к
3.3 Случай к 1.
3.4 Случай 5 к 1 .
3.5 Задача о границах параметра к при которых в системе существует периодические решения с периодом п
3.6 Исследование устойчивости периодического решения дискретной динамической системы 3.1 в целом
3.7 Исследование периодических решений в непрерывной динамической
системе второго порядка с подкачкой.
3.7.1 Постановка задачи.
3.7.2 Характеристическое уравнение и план дальнейшего исследования
3.7.3 Случай действительных некратных корней характеристического уравнения
3.7.4 Случай действительных кратных корней характеристического уравнения
3.7.5 Случай комплексных корней характеристического уравнения . .
3.7.6 Исследование возможности существования периодических колебаний п динамической системе второго порядка с использованием преобразования ЭйлераЛапласа. Сравнение возможностей методов исследования
3.8 Исследование динамики в цсломдпя линейной непрерывной системы
второго порядка с возможностью подкачки .
3.8.1 Случай различных действительных корней .
3.8.2 Случай кратных действительных корней
3.8.3 Случай комплексных корней.
3.9 Выводы по Главе
4 Алгоритмы численных расчетов ироцессов в динамических системах
с запаздыванием, релаксацией и подкачкой
4.1 Алгоритм численного нахождения корней трансцсндетного характеристического уравнения
4.2 Алгоритм численного нахождения нулей функции т
4.3 Алгоритм численного нахождения периодического решения непрерывной динамической системы в виде экспоненциального разложения .
4.4 Алгоритм прямого численного регнепия исходной системы.
4.5 Выводы по главе 4.
Список использованных источников


При исследовании дискретной системы второго порядка с возможностью иодкачки изучены все случаи, при которых существуют однофрагментные периодические решения. Найден аналитический вид периодического решения и длина периода. Доказано, что помимо найденных аналитически периодических решений, других не существует. Доказано, что при фиксированном значении параметра дискретной динамической системы, в ней может существовать не более двух однофрагментных положительных периодических решений. Исследована устойчивость найденных периодических решений в целом. Для непрерывной динамической системы второго порядка с возможностью подкачки найдены необходимые и достаточные условия сущес твования периодических решений. Доказана единственность периодических решений при каждом конкретном значении параметров непрерывной системы второго порядка. Найденное периодическое решение исследовано на устойчивость в целом. Теоретическая и практическая ценность. Работа носит, как теоретический, так и практический характер. Теоретическая ценность исследования состоит в разработке аналитических методов нахождения периодических решений исследуемых динамических систем с подкачкой с помощью интегрального преобразования ЭйлераЛапласа. Этот гибкий аппарат создает возможность исследовать вопросы связанные с существованием и единственностью периодических решении и исследовать их на устойчивость. Практическая значимость исследования заключается в возможности применения разработанных математических моделей и аппарата их исследования для динамических систем более общего вида, а также для изучения колебательных процессов в целом ряде электронных устройств ключевых схем, генераторов колебаний специальной формы, преобразователей напряжения из постоянного в переменное. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников. Текст изложен на 9 страницах, содержит рисунка и 2 таблицы. Динамической системой с подкачкой и дальнейшем будем называть систему дифференциальных или разностных уравнений с дополнительным условием подкачки. Это условие состоит в том, что в случае достижения фазовой переменной определенной конкретной величины, происходит мгновенное изменение этой фазовой переменной до другого определенного значения. Фрагметггом решения описанной динамической системы будем называть сужение решения на интервал между двумя последовательными подкачками. Длительность этого фрагмента называется временем релаксации в системе. Однофрагментным периодическим решением динамической системы называется периодическое решение, на периоде которого решение сохраняет свойства непрерывности. Ь 1, 0 оо, 1. Ь 1. М Ю. В этом примере в качестве левого предела при скачкообразном явлении подкачки принято нулевое значение фазового переменного, правым пределом принята единица. Время запаздывания в примере принято равным единице. Такие параметры динамической системы выбраны из соображений удобства дальнейшего исследования и на самом деле не умаляют общности. Замечание. Цц1 кеау1 1. Аналитические исследования в некоторых частных случаях 1, а также численные расчеты показали, что в описанной динамической системе могут устанавливаться периодические решения в некоторых областях изменения параметра к . Основной целью настоящего исследования является нахождение необходимых и достаточных условий периодических решений в динамических системах с возможностью подкачки. Поскольку эти системы многообразны, могуч1 содержать несколько запаздываний, могут описываться дифференциальными уравнениями высших порядков, а также разностными уравнениями, то было необходимо предложить некоторый универсальный подход для всех этих случаев. Также целесообразно получить некоторые простые необходимые условия существования периодических решений, а также необходимые условия отсутствия решений в динамических системах с подкачкой. Для получения дополнительной информации о характере процессов в системах с подкачкой требовалось разработать алгоритмы расчета этих систем и соответствующие им программы. Впервые колебания динамических систем со специальными условиями толчков были рассмотрены в работах , , .