Задачи оптимизации в страховых моделях с разрывной функцией распределения выплат

• Автор: Бацын, Михаил Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Введение.

Глава 1. Модели страховых рисков.

1.1. Основные параметры и обозначения

1.2. Механизм страхования

1.3. Вспомогательные формулы.

1.4. Модель индивидуальных рисков

1.4.1. Рисковая премия и выручка страховой компании

1.4.2. Стоимость перестрахования.

1.5. Модель коллективных рисков

1.5.1. Рисковая премия и выручка страховой компании

1.5.2. Стоимость перестрахования.

Глава 2. Оптимизация параметров страхования
2.1. Оптимизация предела ответственности.
2.1.1. Оптимальный предел ответственности для страховой
компании.
2.1.2. Оптимальный предел ответственности для страхователя.
2.2. Оптимизация уровня безусловной франшизы.
2.2.1. Оптимальная франшиза для страховой компании.
2.2.2. Оптимальная франшиза для страхователя.
2.3 Оптимизация эксцедентного перестрахования
2.3.1. Оптимальный уровень собственного удержания в модели
индивидуальных рисков
2.3.2. Оптимальный уровень собственного удержания в модели
коллективных рисков
2.3.3. Резул ьтаты.
Глава 3. Аналитическое решение задачи оптимизации эксцедентного перестрахования
3.1. Распределение с разрывом
3.1.1. Рекуррентная формула
3.1.2. Вспомогательная формула
3.1.3. Общая формула для равномерного распределения.
3.2. Функция распределения выплат в модели индивидуальных рисков
3.3. Функция распределения выплат в модели коллективных рисков.
3.4. Параллельные вычисления
3.4.1. Равномерное распараллеливание
3.4.2. Распараллеливание по параметру п.
3.4.3. Оптимизированное распараллеливание.
3.5. Результаты для задачи оптимизации надежности.
Глава 4. Имитационный подход
4.1. Индивидуальные риски.
4.2. Коллективные риски
4.3. Сглаживание.
4.4. Сравнение результатов.
4.5. Результаты для различных распределений ущерба.
Заключение.
Введение


В работе i i , разработан достаточно общий подход к поиску оптимальной функции разделения ущербов, рассмотрена мера измерения риска общего вида, доказано несколько общих теорем и получены результаты в нескольких частных случаях. Юрз перестрахование, ехсеззоЭДоБЗ эксцедентное перестрахование, цшаБИаге пропорциональное перестрахование, Бигр1и8 условное пропорциональное перестрахование. Ряд работ посвящен оптимизации параметров стандартных видов перестрахования с известной функцией разделения ущерба. К таким работам относится статья Оауапапба, , в которой получена процедура выбора оптимальной квоты при пропорциональном перестраховании, обеспечивающая максимальные ожидаемые дивиденды акционерам страховой компании. В работе Тлрртап, сравниваются три вида перестрахования ехсеоГ1о, цио1а8Ьаге, комбинация ехсез8оо и циоСавЬаге. Показано, что оптимальным является ехсео1о перестрахование с точки зрения минимизации риска, измеряемого как математическое ожидание некоторой выпуклой функции от величины выплат страховой компании. В статье Тар1его 2икегтап, используется аппроксимация процессом диффузии для вычисления распределения суммы страховых выплат, впервые предложенная в работе ЩейаП, . Авторы применили теорию игр для оптимизации ожидаемых доходов страховой и перестраховочной компаний при экцедентном перестраховании. В работе получено решение Стекельберга аске1Ье, для игры страховой и перестраховочной компаний в следующем виде. Для каждого уровня рисковой нагрузки а перестраховочной компании страховая компания определяет оптимальный уровень собственного удержания га. Зная эту функцию, перестраховочная компания выбирает оптимальную рисковую нагрузку а, такую, чтобы при этой нагрузке и уровне собственного удержания г а оптимальном для страховой компании ее ожидаемый доход был максимален. В работе , рассмотрена задача минимизации верхней границы вероятности разорения при экцедентном перестраховании. Использована улучшенная оценка Лундберга , . В более поздней статье , решена та же задача, но для случая двух зависимых рисков. В работе V i, рассмотрены различные комбинации из двух видов перестрахования и получены оптимальные значения их параметров с точки зрения максимизации меры среднееотклонение vi для величины дохода страховой компании. В статье vv i, рассмотрена комбинация из и видов перестрахования и получены оптимальные значения соответствующих параметров, обеспечивающие максимальный доход акционеров страховой компании. При этом учитываются инвестиции компании в финансовые рынки и связанные с этим участием налоги и финансовые риски. В работе iv iiv, предложено численное решение задачи оптимизации эксцедентного перестрахования с помощью полиномов Аппеля i, . При этом критерием оптимизации являлась совместная вероятность выживания страховой и перестраховочной компаний. Во многих работах исследуется так называемое глобальное перестрахование, при котором суммарный ущерб по всем страховым случаям делится между страховой и перестраховочной компаниями в соответствии с некоторой функцией разделения ущербов. В части работ рассматривается локальное перестрахование, более сложное с математической точки зрения по сравнению с глобальным. При локальном перестраховании выплаты в каждом страховом случае, превышающие некоторый уровень, называемый уровнем собственного удержания i ii, передаются перестраховочной компании. Эта особенность серьезно усложняет задачу получения распределения суммы выплат по всем произошедшим страховым случаям. Большинство работ обходят эту проблему с помощью критериев оптимизации, не требующих знания распределения суммарных выплат страховой компании. Другие работы применяют различные аппроксимации и численные методы. В диссертации рассмотрены модели страховых портфелей, основной особенностью которых является разрывная функция распределения выплат. Объектом исследования является функция надежности вероятности неразорения страхового портфеля. Предложены и реализованы численные методы вычисления распределения суммарной выплаты, необходимого для определения оптимальных параметров. В первой главе вводятся основные понятия страховых моделей и доказываются вспомогательные утверждения.