Геометрические методы анализа сложного поведения в динамических моделях с негладкими нелинейностями

• Автор: Жежерун, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Сложное поведение в динамических моделях

1.1 Гистерезис и оператор Прейсаха

1.2 Вращение векторного поля

1.3 Модели с сингулярными возмущениями и траекторииутки

1.4 Хаотическое поведение.

Глава 2. Динамические модели с гистерезисом

2.1 Электронный осциллятор с гистерезисом.

2.2 Бифуркации ЛидроноваХонфа и ветвь циклов.

2.3 Численный расчет ветвей циклов и примеры

2.4 Гидрологическая модель с гистерезисом.
2.5 Поведение решений в точках разрыва .
2.6 Численные эксперименты
2.7 Доказательство теорем 2.12.3.
2.8 Доказательство теоремы 2.4
Глава 3. Траекторииутки в кусочнолинейных моделях
3.1 Введение
3.2 Электронный генератор шума
3.3 Описание математической модели
3.4 Периодические траекторииутки.
3.5 Хаотические траекторииутки.
3.6 Пример и численный анализ модельной задачи
3.7 Периодические утки в генераторе шума
3.8 Замечания.
3.9 Доказательство теорем 3.1 и 3.2.
Глава 4. Модели с негладкими малыми возмущениями
4.1 Введение
4.2 Периодические траекторииутки.
4.3 Хаотические траекторииутки.
4.4 Пример
4.5 Системы высших размерностей
4.6 Доказательства
Заключение
Литература


Третья глава посвящена геометрическому методу локализации и строгого анализа периодических траекторий-уток и хаотического поведения в моделях с сингулярными возмущениями и кусочно-линейными элементами. В качестве примера рассмотрен электронный генератор шума Кияшко-Пиковского-Рабиновича, который представляет собой модификацию генератора ван дер Поля с туннельным диодом, включенным параллельно с индуктивностью. Предлагаемый геометрический метод позволяет преодолеть трудности, возникающие при изучении негладких моделей с помощью традиционных методов «chasse au canard» (). Разработанный подход применим к целому ряду динамических моделей и позволяет установить наличие периодических и хаотических решений, каждое из которых является траекторией-уткой. Метод обеспечивает топологическую устойчивость таких периодических траекторий: они сохраняются, когда рассматриваемая модель подвергается слабым возмущениям. В то же время, эти траектории не обязательно являются устойчивыми по Ляпунову: при малых изменениях начальных данных траектории могут отклоняться от периодической траектории. Поэтому в естественном виде такие решения могут быть трудны для наблюдения. Однако даже неустойчивые периодические утки могут быть использованы в приложениях. Если описываемые этими утками процессы представляют интерес с технологической точки зрения, то стандартные алгоритмы контроля с помощью обратных связей позволяют стабилизировать такие решения [, , 1]. Для применения вращения векторного поля к анализу хаотического поведения траекторий-уток, были совмещены схема П. Згличинского [1] и метод топологического отслеживания траекторий [, |. Особо отметим тот факт, что полученные в настоящей работе результаты не требуют проведения части доказательств на компьютере, в отличие от типичных приложений упомянутой выше схемы, см. Существуют и другие подходы к изучению хаоса в моделях с сингулярными возмущениями, см. Лотки-Вольтерра с «суперхищником» в [] и приведенные там ссылки. В четвертой главе геометрический метод анализа траекторий-уток распространяется на модели с негладкими возмущениями. Роль таких возмущений могут выполнять, например, малые шумы. Получены результаты о существовании периодических и хаотических траекторий-уток в таких моделях. Как и в третьей главе, найденные с помощью геометрического метода траектории топологически устойчивы, однако могут не быть устойчивыми но Ляпунову, и для их стабилизации необходимо применение алгоритмов управления. Также рассматривается обобщение на случай динамических моделей с более чем тремя переменными, когда влияние остальных переменных на трехмерную подмодель слабо. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доц. Е.А. Щепакиной, а также проф. A.B. Покровскому, проф. В.А. Соболеву и Д. И. Рачин-скому за ценные замечания, плодотворное обсуждение задач и результатов, неоценимое внимание и постоянную поддержку. Результаты, приведенные в главе 2, формулируются для моделей с гистерезисиой нелинейностью Прейсаха, феноменологическое описание которой восходит к работал! Прсйсахом в проблемах феріюмагнетизма [0] и Хайнсом в задачах о потоке жидкостей сквозь пористые среды [] применительно к гидрологии. В настоящее время модель Прейсаха — одна из наиболее распространенных скалярных моделей гистерезиса. Причины ее популярности в различных приложениях заключаются в эффективности алгоритма идентификации [] и простой феноменологии, трактующей моделі» как набор независимых элементарных «атомов» гистерезиса — неидеальных реле — с общим входом. Рассматриваемые уравнения содержат производную но времени выхода нелинейности Прейсаха. Подобные уравнения естественно возникают в моделях систем с магнитным гистерезисом: здесь вход и выход нелинейности Прейсаха — это переменные напряженность магнитного поля и магнитная ин;іукция, а производная выхода по времени пропорциональна скорости изменения магнитного потока. К таким системам относятся электрические колебательные контуры, где гистерезисные эффекты играют существенную роль [2], и некоторые модели магнитной гидродинамики [].